论文摘要
本文主要运用微分不等式的技巧(或称为上下解方法),在一定条件下证明几类非线性微分方程边值问题(不带小参数)解的存在性(部分内容包括解的唯一性),并在此基础上研究带有小参数的几类奇异摄动边值问题,利用边界层函数法,构造了其高阶渐近解并得到了解的一致有效估计。本文主要分为五章:第一章,首先,介绍了奇异摄动理论的背景及前人的一些工作。其次,给出上下解的概念及Nagumo条件,同时给出了二阶与三阶微分不等式的基本结果,及后面会用到的基本引理。第二章,研究一类具有转向点的三阶常微分方程的两点边值问题。利用边界层函数法,构造了该问题解的高阶渐近展开;利用三阶微分不等式理论,证明了该问题解的存在性以及解的误差估计。第三章,先研究二阶非线性微分方程的三点边值问题的微分不等式理论与解的存在性。然后利用所得的结果研究二阶拟线性微分方程的三点边值问题的奇异摄动现象及解关于退化解的误差估计。第四章,通过上下解方法研究三阶微分方程n点边值问题的解的存在性,然后利用所得到的结果,研究带有正的小参数的三阶拟线性微分方程n点边值问题的奇异摄动,最后对所构造的一致有效渐近解给出误差估计。第五章,针对三阶拟线性微分方程的奇摄动边值问题,利用边界层校正法,得到了问题解的形式渐近展开式。再利用Banach压缩映象原理,证明了解的存在唯一性以及形式解关于解的误差估计。