论文摘要
近年来对于奇异型微分方程的研究十分活跃，奇异微分方程广泛应用于各个领域，它起源于各种应用学科，如核物理、气体动力学、流体力学及非线性光学等，较早的文章是。奇异微分方程初、边值问题的研究近年来获得了较大程度的发展，也得到了不同条件下解的存在性结果，例如，国内的杨光崇，葛渭高，国外的Donal O’Regan和RaviP.Agarwal等都已经做了很多研究，目前采用的方法有上下解方法、锥上的不动点指数理论和迭合度理论等。本文共分两章，主要利用锥上的不动点指数理论来研究非线性二阶奇异微分方程初值和边值问题的正解。讨论了奇异对微分方程所产生的影响。在第一章中，我们用不动点指数理论考虑二阶非线性奇异初值问题正解的存在性。当f不含x′，已经有较多文献研究[11][12][13]及其参考文献，对于f含x′，文[32]中，杨光崇讨论初值方程是而文[2]中Donal O’Regan和Ravi P.Agarwal研究了如下方程与上述两种方程比较本章考虑的方程（1）加上了p（t），而且integral from n=1 to 0 1／p（r）dr=+∞。对于integral from n=1 to 0 1／p（r）dr=+∞，f（t，x，z）在x=0，z=0奇异时方程（1）的正解存在性定理相对较少，因此本章的目的是研究方程（1）在integral from n=1 to 0 1／p（r）dr=+∞，f（t，x，z）在z=0奇异时的正解存在定理，将文[32][2]的结果推广。在第二章中，我们用不动点指数理论考虑二阶非线性奇异边值问题正解存在性定理．在文献中，R.P.Agarwal和D.O’Regan讨论了解的存在性，在这里作者不再限制integral from n=1 to 0 1／p（r）dr=＜+∞，可以允许integral from n=1 to 0 1／p（r）dr=+∞。本文作者讨论的右端函数f中不含导数，因此受[17]的启发，本章讨论右端函数含有导数的情形，且integral from n=1 to 0 1／p（r）dr=+∞，使得[17]的结果更为广泛。在这两部分中我们都是通过构造特殊的范数和空间使非线性项f（t，x，z）克服在x=0和（或）z=0的奇异性，得到了奇异初值和边值问题的正解。