一类高阶非线性抛物型方程的初值问题

论文摘要

本文分三章：第一章为引言；第二章研究一类高阶非线性抛物型方程的初值问题的局部广义解的存在唯一性，通过解的延拓定理证明整体广义解和整体古典解的存在唯一性，并讨论整体解的衰减性质；第三章研究此类高阶非线性抛物型方程初边值问题局部广义解的存在唯一性，通过解的延拓定理证明整体广义解的存在唯一性，并研究整体解的衰减性质．具体情况如下：在第二章中，我们研究如下一类高阶非线性抛物型方程的初值问题ut-αuxxt-βuxx+γuxxxx+f（u）x=G（u）+h（ux）x+g（u）xx，x∈R，t＞0，（1）u（x，0）=u0（x），x∈R，（2）其中u（x，t）表示未知函数，α＞0，β＞0，γ＞0为常数f（s），h（s），G（s）和g（s）为给定的非线性函数，u0（x）是定义在R上的已知初值函数．其主要结果如下：定理1设u0∈Hs（R）（s＞3／2），g，f，h，G∈Cκ（R）且κ=[s]+1，则初值问题（1），（2）存在唯一的局部广义解u（x，t）∈C（[0，T0）；Hs（R）)∩C1（[0，T0）；Hs-2（R）)，其中[0，T0)是解存在的最大时间区间，同时如果则T0=∞．定理2设u0∈Hs（R）（s＞3／2），g，f，h，G∈Cκ（R）且κ=[s]+1，如果其中u（x，t）和T0为定理1中提到的．则T0=∞．定理3设u0∈Hs（R）（s≥2），g，f，h，G∈Cκ（R）且κ=[s]+1，h（0）=0且h′（ξ）≥0，（?）ξ∈R；Q（u）=integral from n=0 to u f（s）ds；（?）ξ∈R，g′（ξ）≥0；G（0）=0且存在常数γ0＞0，使得（?）ξ∈R成立G′（ξ）≤-γ0．则问题（1），（2）有唯一的整体广义解u（x，t）∈C（[0，∞）；Hs（R）)∩C1（[0，∞）；Hs-2（R）)．定理4设以下条件成立（ⅰ） h∈C1（R），h（0）=0且h′（ξ）≥0，（?）ξ∈R；f∈C（R），Q（u）=integral from n=0 to u f（s）ds；g∈C1（R）且g′（ξ）≥0，（?）ξ∈R．（ⅱ） G∈C1（R），G（0）=0且存在常数γ0＞0，使得（?）ξ∈R成立G′（ξ）≤-γ0．则问题（1），（2）的广义解u（x，t）有衰减性质第三章讨论初边值问题ut-αuxxt-βuxx+γuxxxx+f（u）x=G（u）+h（ux）x+g（u）xx，x∈Ω，t＞0，（6）ux（0,t）=ux（1，t）=uxxx（0,t）=uxxx（1，t）=0，t≥0，（7）u（x，0）=u0（x），x∈（?）=[0，1] （8）的整体解的存在性．其主要结果如下：定理5设u0∈H3（Ω），f∈C2（R），g∈C3（R），h∈C2（R）和G∈C1（R）．则问题（6）-（8）存在唯一的局部广义解u（x，t）∈C（[0，T0）；H3（Ω）)∩L2（[0，T0）；H4（Ω）)，ut∈L2（[0，T0）；H2（Ω）)，其中[0，T0)是解存在的最大时间区间，如果则T0=∞．定理6设u0∈H3（Ω），f∈C2（R），g∈C3（R），h∈C2（R），h（0）=0和G∈C1（R）且G（0）=0，存在常数C1，C＜0，A，B，D，使成立（?）s，G′（s）≤A，h′（s）≥B，g′（s）≥D和C≤f′（s）≤C1，则问题（6）-（8）存在唯一整体解u（x，t）∈C（[0，∞）；H3（Ω）)∩L2（[0，∞）；H4（Ω）)，ut∈L2（[0，∞）；H2（Ω）)．定理7设u0∈H1（Ω），f∈C1（R），g∈C2（R），h∈C1（R），h（0）=0和G∈C1（R）且G（0）=0，存在常数C1，C＜0，A，B，D，使成立（?）s∈R，G′（s）≤A，h′（s）≥B，g′（s）≥D和C≤f′（s）≤C1，其中2A+1＜0，C2／2-B-D-β＜0，则问题（6）-（8）的整体解有衰减估计其中．

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 初值问题（2.4）,（2.5）
• §1 初值问题（2.4）,（2.5）的局部广义解的存在性和唯一性
• §2 初值问题（2.4）,（2.5）的整体解的存在性和唯一性
• §3 初值问题（2.4）,（2.5）解的衰减性质
• 第三章 初边值问题（1.3）—（1.5）
• §1 初边值问题（1.3）—（1.5）局部解的存在性和唯一性
• §2 初边值问题（1.3）—（1.5）的整体广义解
• §3 初边值问题（1.3）—（1.5）解的衰减性质
• 参考文献
• 致谢