T样条和T网格上的样条

论文摘要

自由曲线曲面技术是计算机辅助几何设计(CAGD)的核心,而非均匀有理B样条(NURBS)方法作为自由曲线曲面的造型方法,由于其统一的数学模型而成为计算机辅助设计和制造(CAD/CAM)的一个标准。长期以来,几何外形的数学模型化和数据平滑化促使了样条方法的发展;反过来,样条理论和方法的建立,为自由曲线曲面的发展提供了重要的依据和工具。但是我们知道NURBS曲面有着很多缺点,比如说它的控制点必须拓扑的位于一个矩形网格上,从而很多的控制点更多的是为了满足拓扑的限制而不是几何上的信息。为了克服这个缺点,Sederberg[Sederberg2003,Sederberg 2004]提出了T样条。T样条允许控制网格中出现T型控制点,同时它是从NURBS推广而来,从而它可以消除大多数的多余的控制点。NURBS曲面的参数表示和可以精确表示圆锥曲面是它的一个很大的优点,但是它的张量积的拓扑限制是它的一个很大的缺点。为了克服这些限制创建复杂拓扑的物体,裁剪是NURBS曲面在造型上的一个很重要的操作。但是裁剪只是一种忽略裁剪区域的求值的方法,所以如果我们将两个经过裁剪的曲面放在一起,那么在它们在裁剪区域上是无法避免缝隙的。对很多的应用而言,这是一个很大的问题。这个问题并不新,但是它困扰了CAD界20多年。在本文的第二章,我和Sederberg教授用T样条解决了这个问题。由于在大多数的情况下,T样条都是有理的,邓建松等人[邓建松2005]提出T网格上的样条,并在多项式的次数大于光滑阶的两倍的情况下研究了它的维数。在本文中,在同样的限制下,本文首先在层次T网格上构造了它的一组基函数,并讨论了节点插入、删除、插值和拟合算法。接着又研究了它的绘制、缝合算法,从而可以拟合任意拓扑的模型。我还给出了与NURBS的转化、简化等方面的一些应用。结果表明T样条不仅有着NUBRS的那些好的性质,还有着良好的自适应性。相比T样条而言,更加的简单和快速。接着本文研究了任意T网格上的样条的基函数的构造,并给出了一个通过删除多余的边来简化B样条曲面的算法。最后本文将前面的内容推广到三维空间的T网格上的样条,从而为隐式T网格上的样条曲面和曲面自由变形提供了理论上的基础。

论文目录

• 致谢
• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪言
• §1.1 概述
• §1.2 NURBS曲线曲面造型技术
• §1.2.1 NURBS曲线
• §1.2.2 节点距
• §1.2.3 张量积NURBS曲面
• §1.3 T样条的发展
• §1.4 本文主要内容和结构安排
• 第二章 基于T样条的无缝裁剪NURBS曲面
• §2.1 简介
• §2.2 非裁剪T样条
• §2.3 用NU-NURBS拼接
• §2.4 曲面上的任意形状的尖锐特征
• §2.5 本章小结
• 第三章 层次T网格上的样条
• §3.1 引言
• §3.2 基函数的构造
• §3.2.1 层次T网格
• §3.2.2 基函数的构造
• §3.3 基函数的性质
• §3.4 插值定理
• §3.5 十字点插入和删除算法
• §3.6 拟合算法
• §3.7 本章小结
• 第四章 层次T网格上的样条的一些应用
• §4.1 层次T网格上的样条曲面的绘制
• §4.2 缝合
• §4.3 亏格为零的网格模型的拟合
• §4.4 与B样条曲面的互相转化
• §4.5 T样条曲面的简化
• §4.6 本章小结
• 第五章 任意T网格上的样条
• §5.1 引言
• §5.2 基函数的构造
• §5.3 插值定理
• §5.4 基函数的性质
• §5.5 B样条曲面的简化
• §5.6 关于基函数构造的总结
• §5.7 本章小结
• 第六章 三维T网格上的样条
• §6.1 引言
• §6.2 三维T网格的一些定义
• §6.2.1 三维T网格
• §6.2.2 样条空间
• §6.2.3 三维层次T网格
• §6.3 三维T网格的几个引理
• §6.4 三维T网格的维数公式
• §6.4.1 关于三维T网格的一些记号
• §6.4.2 维数公式
• §6.5 三维T网格上的T样条
• §6.6 本章小结
• 第七章 总结和展望
• §7.1 本文工作
• §7.2 将来工作
• 参考文献
• 作者攻读博士期间完成论文