论文摘要
本文主要研究一类广义IMBq方程的半有界问题．本文分四章：第一章为引言；第二章研究广义IMBq方程的初边值问题的局部解的存在惟一性；第三章通过积分估计证明第二章所述问题的整体解的存在惟一性；第四章用凸性引理讨论了所述问题的解的blow-up．在第二章中，我们研究如下广义IMBq方程的初边值问题utt-uxxtt-uxx=f（u）xx，（0.1）u（0,t）=0，（0.2）u（x，0）=u0（x），ut（x，0）=u1（x），（0.3）在空间H2（R+）∩H01（R+）中的局部解和整体解的存在性和惟一性．其中u（x，t）为未知函数，f（s）为已知的非线性函数，u0（x）和u1（x）为已知的初始函数．下标t，x分别表示对t，x求偏导数．为此，我们首先利用常微分方程中的有关结论把问题（0.1），（0.2）转化为方程utt+u+f（u）=p（x，t），（0.4）其中p（x，t）=integral from n=0 to∞h（x，y）[u+f（u）]（y，t）dy．从而问题（0.1）-（0.3）等价于然后利用压缩映射原理得到局部解的存在惟一性．其主要结果如下：定理1．假设，u0，u1∈H2（R+）∩H01（R+），f（s）∈C3（R+），则问题（0.1）-（0.3）有惟一的局部解u（x，t）∈C（[0，T0），H2（R+）∩H01（R+）)，其中[0，T0)是解的最大存在区间．进一步，若则T0=∞．第三章通过Fourier正余弦变换得到能量恒等式，进而得到一些积分估计，然后证明问题（0.1）-（0.3）整体解的存在惟一性．主要结果如下：定理2．假设u0（x），u1（x）∈H2（R+）∩H01（R+），（-Δ）-1／2u＿1∈L2（R+），F（u）=integral from n=0 to u f（s）ds，F（u0）∈L1（R+），f∈C3（R+）且满足则问题（0．1）-（0．3）有惟一解其中（-Δ）-1／2u（x）=Fs-1[x-1Fsu（x）]，Fs-1和Fs分别表示Fourier正弦逆变换和Fourier正弦变换．第四章用凸性引理得到了问题（0.1）-（0.3）解在有限时刻发生blow-up的充分条件，主要结果如下：定理3：假设f（u）∈C（R+），F（u）=integral from n=0 to u f（s）ds，u0，u1∈L2（R+），（-Δ）-1／2u0，（-Δ）-1／2u1∈L2（R+），和F（u0）∈L1（R+），且存在常数α＞0，使得对任意的u∈R，有f（u）u≤2（2α+1）F（u）+2αu2，（0．8）若初值满足下列条件之一：（1）．E（0）＜0，（2）．E（0）=0，(（-Δ）-1／2u1，（-Δ）-1／2u0)+（u1，u0）＞0，（3）．则问题（1．1）-（1．3）的解u（x，t）在有限时间内发生blow-up．