具有平行平均曲率子流形的几何刚性定理

论文摘要

本文着重研究常曲率流形中具有平行平均曲率和正曲率子流形的拼挤问题。证明了关于截面曲率、数量曲率以及Ricci曲率等内蕴量的几何刚性定理;推广了S.T.Yau、T.Itoh著名的刚性定理以及N.Ejili、A.Li、J.Li和孙自琪等相关工作,部分Pinching常数达到最佳。 在第3章里主要进行了对下述定理的证明（详见文献[12]） 定理3.1.设Mn为Fn+p（c）中n维具有平行平均曲率的紧致定向黎曼子流形（H≠0）。如果KM>0,那么 （ⅰ）若p≤2,则Mn是Fn+p（c）中一个全脐球Sn(1/（c+H2）1/2)。 （ⅱ）若p≥3,而且则Mn是Fn+p（c）中一个全脐球Sn(1/（c+H2）1/2)。 定理3.2.设Mn为Fn+p（c）中n维具有平行平均曲率的紧致定向黎曼子流形（H≠0）,p≥2且c+H2>0。若则Mn是一个全脐球Sn(1/（c+H2）1/2),或者两个低维球的直积标准浸入,或者S4(1/（c+H2）1/2)中的Veronese曲面。 在第4章里,我们证明在一般的常曲率黎曼流形Fn+p（c）中具有平行平均曲率子流形的刚性定理,对A.M.Li、J.M.Li[8],N.Ejili[4]以及Z.Q.Sun[11]的有关数量曲率和Ricci曲率等Pinching理论工作进行了更深一步的研究和推广（详见文献[13]）,主要证明了 定理4.1.设Mn（?）Fn+p（c）是等距浸入,Mn为n维具有平行平均曲率的紧致伪脐子流形。p>1,c+H2>0。若Mn的数量曲率不小于1/3n（3n-5）（c+H2）,则Mn是全脐的,或者当n=2时为S4(1/（c+H2）1/2)中的Veronese曲面。 定理4.2.设Mn（?）Fn+p（c）是等距浸入,Mn为n维具有平行平均曲率的紧致伪脐子流形。p>1,c+H2>0,n≥4。若Mn的Ricci曲率大于（n-2）（c+H2）,则Mn是全脐的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
• 第二章 预备知识
• 2.1 基本概念、记号和局部公式
• 2.2 几个引理
• 第三章 闭子流形关于截面曲率的刚性定理
• 3.1 主要结果
• 3.2 定理的证明
• 第四章 具有平行平均曲率子流形数量曲率和Ricci曲率的刚性定理
• 4.1 主要结果
• 4.2 主要定理的证明
• 参考文献
• 致谢