关于几类扩散方程（组）解的研究

论文摘要

扩散是最普遍的自然现象之一.例如,在渗流理论、相变理论、生物化学以及生物群体动力学等领域中都存在着大量的扩散现象.而这些涉及到扩散现象的实际问题往往都可用具有扩散项的偏微分方程进行描述.无论从数学理论还是应用科学的角度来看,对这些扩散方程的研究都具有特别重要的意义.近四十年来,特别是近二十年来,这类方程的研究吸引了国内外众多的数学工作者,并且取得了令人瞩目的进展.人们发展了许多新的数学思想和方法,大大的丰富了偏微分方程的理论并促进了相关学科的发展.本文将对应用科学中提出的几类重要的扩散方程(组)解的性质作一些定性的研究.在第一章中,我们将研究几类具有非局部/局部化源项的反应扩散方程组的Neumann边值问题和Cauchy初值问题.对于齐次Neumann边值问题,我们充分运用新建立的比较原理得到了解整体存在与有限时刻爆破的充分条件,借助于Green函数的性质以及解的表示等技巧建立了爆破解的精确爆破速率估计,并给出了爆破集.我们将看到,由于齐次Neumann边界的绝热效应,爆破速率估计在整个闭区域上一致地成立.借助于相似的思想以及常微分不等式等技巧,我们也将研究相应方程组的Cauchy问题解的同时爆破与非同时爆破、爆破解的精确爆破速率估计以及爆破集等性质.与一些学者之前的工作相比,我们的方法特别简洁,而所得到的结论改进并推广了他们的许多结果与相关工作.在第二章中,我们首先研究一类同时具有反应和吸引的扩散方程组的齐次Dirichlet边值问题.在合适的指数限制之下,我们利用Scaling方法得到了任意爆破解爆破速率的上界估计.我们将看到,如果对吸引项的指数作适当的限制,则爆破速率的指数由反应项给出.这表明,当吸引项的增长较慢时,反应项对解的增长起着主导作用.同时,我们也将在较弱的指数增长限制之下给出爆破速率的下界估计.

论文目录

• 摘要
• 英文摘要
• 引言
• 0.1 具有非局部/局部化反应项的问题
• 0.2 同时具有反应和吸引的扩散方程组
• 0.3 具有非线性扩散的退化方程组
• 0.4 具有吸引项的退化方程
• 0.5 具有扩散的不等式（组）
• 第一章 几类具有非局部反应项的扩散方程组解的爆破性质
• 1.1 问题研究的背景
• 1.2 Neumann 边值问题
• 1.2.1 解的整体存在与有限时刻爆破
• 1.2.2 爆破解的爆破速率估计与爆破集
• 1.2.3 具有吸引项的非局部问题解的爆破速率估计
• 1.3 Cauchy 问题
• 1.3.1 问题（1.1.11） 的爆破性质
• 1.3.2 问题（1.1.12） 解的爆破性质
• 第二章 Scaling 方法与局部问题解的爆破速率估计
• 2.1 问题的提出
• 2.2 具有吸引项的反应扩散方程组解的爆破速率估计
• 2.3 具有边界和反应项藕合的退化抛物方程组的爆破速率
• 第三章 非齐次介质中具有吸引项的退化方程解的自由边界
• 3.1 问题的提出
• 3.2 预备知识
• 3.3 解的局部性与正性
• 3.4 自由边界的整体存在性
• 3.5 自由边界在有限时刻的消失
• 第四章 一个抛物不等式组的Liouville 型定理及其应用
• 4.1 问题的提出
• 4.2 准备知识及主要结果
• 4.3 主要结论的证明
• 全文的主要结论和创新点
• 参考文献
• 作者攻博期间发表学术论文及其他成果
• 致谢