论文摘要
以2001年诺贝尔物理学奖为标志，Bose—Einstein凝聚的研究已成为当今国际物理学界研究的几个热点领域之一．我们将根据描述Bose-Einstein凝聚的一类数学模型，一类带调和势并具组合幂非线性项的非线性Schrodinger方程，对Bose-Einstein凝聚所特别关注的如下问题进行研究：1该方程的整体解和爆破解存在的条件及最佳条件；2该方程的驻波解的性态．整个论文的方法是现代变分法．通过分析这个方程的特征，以方程的Cauchy问题的局部适定性为基础，构造合适的泛函和Nehari流形，从而设置相应的强制变分问题，通过分析这些变分问题的特性，构造某些特定的函数．结合这些函数特征、方程的特征以及一些重要不等式的特征，建立了它的所谓发展不变流．然后，讨论该方程的整体解存在性与有限时间内的爆破性质．最后结合变分特征确定出该方程整体解存在的最佳条件．进一步，讨论了其驻波解的存在性和不稳定性．第一章，介绍了方程的相关物理背景、已有研究状况、问题，以及这篇论文的工作．第二章，运用变分方法，研究了方程整体解和爆破解存在的条件．从理论上获得了该方程Cauchy问题的整体解和爆破解的一个分界门槛．第三章，用能量泛函作为判别准则，给出了方程整体解和爆破解的门槛条件．同时，回答了在能量空间中，初值到底要小到什么程度，其解才会整体存在?特别值得一提的是，本章的结论是可以用于实际计算的，因此它更有实际应用价值．第四章，研究了方程的驻波解．证明了该方程驻波解的存在性，进一步，证明了其驻波的不稳定性．