论文摘要
本文分四章：第一章为引言；第二章研究一类六阶非线性波动方程的Cauchy问题局部解和整体解的存在性和惟一性；第三章利用凸性方法证明上述Cauchy问题解的爆破；第四章研究一类六阶非线性波动方程的初边值问题局部广义解的存在性，并给出解爆破的充分条件．在第二章中，我们研究一类六阶非线性波动方程的Cauchy问题其中v（x，t）表示未知函数，a＞0为常数，g（s）为给定的非线性函数，v0（x）和v1（x）为给定的初值函数，下标x和t分别表示对x和t求导数．为简单起见，我们利用比例变换把方程（1）改写为不失一般性，我们研究下面的Cauchy问题其中u（x，t）表示未知函数，φ（s）为给定的非线性函数，u0（x）和u1（x）为给定的初值函数．我们利用压缩映射原理证明Cauchy问题（3），（4）局部解的存在性和惟一性，并给出整体解存在的充分条件，主要结果如下：定理1设s＞1／2，u0∈Hs，u1∈Hs，φ∈C[s]+1（R）和φ（0）=0则Cauchy问题（3），（4）存在惟一的局部解u∈C2（[0，T0）；Hs)，其中[0，T0)是解u（x，t）存在的最大时间区间，而且如果则T0=∞．定理2设s＞1／2，u0∈Hs，u1∈Hs，φ∈C[s]+1（R），φ（0）=0和[0，T0)是Cauchy问题（3），（4）的解u（x，t）∈C2（[0，T0）；Hs)存在的最大时间区间．如果其中M2是一正常数，则T0=∞．定理3设s≥1，u0∈Hs，u1∈Hs，φ∈C[s]+1（R），φ（0）=0，Λ-1u1∈L2，Φ（u0）∈L1，且Φ（s）≥0或φ′（s）是下方有界的，即存在常数C0，使得φ′（s）≥C0，（?）s∈R，则Cauchy问题（3），（4）存在惟一的整体解u∈C2（[0，∞）；Hs)，其中Λ-1u1=F-1[|x|-1Fu1（x）]和Φ（s）=∫0sφ（τ）dτ，F和F-1分别表示R上的Fourier变换及其逆变换．注1在定理3的条件下，当s＞9／2时，则Cauchy问题（3），（4）存在惟一的整体古典解．在第三章中，我们利用凸性方法证明Cauchy问题（3），（4）的解在有限时刻发生爆破．主要结果如下：定理4设φ（s）∈C（R），u0∈H1，u1∈H1，Λ-1u1∈L2，Φ（s）=∫0sφ（τ）dτ，Φ（u0）∈L1且存在常数δ＞0使得如果下列条件之一成立，则Cauchy问题（3），（4）的解在有限时刻发生爆破：在第四章中我们讨论一类六阶非线性波动方程的如下初边值问题或如下的初边值问题其中α＞0为常数，φ（s）为给定的非线性函数，φ（x）和φ（x）为给定的初值函数．我们证明上述问题（5）-（7）；（5），（8），（9）存在局部广义解，并给出解不存在的充分条件．主要结果有：定理5设，则问题（5）-（7）存在局部广义解u（t）∈W2，∞（[0，T]；S），其中0＜T＜T0，[0，T0)是解u（t）存在的最大时间区间．而且如果则T0=∞．定理6设φ（s）是上凸函数，且则问题（5）-（7）的解在有限时刻t≤（?）发生爆破，即定理7设φ（s）是下凸的偶函数，且则问题（5）-（7）的解在有限时刻t≤（?）1发生爆破，即对于问题（5），（8），（9）有如下类似结果：定理8设则问题（5），（8），（9）存在局部广义解u（t）∈W2，∞（[0，T]，D），其中0＜T＜T0，[0，T0)是解u（t）存在的最大时间区间，而且如果则T0=∞．定理9假设下列条件成立且则问题（5），（8），（9）的解在有限时刻t1发生爆破．即其中