论文摘要
在研究油-水-表面活性剂三相系统动力学性质时得到了如下模型方程（1）是一个典型的高阶抛物方程,其中γ>0,这里u与油和水的局部浓度差成正比,f（u）=F’（u）,而F（u）和a（u）由如下六次和二次多项式给出在过去的几年里,六阶抛物方程得到了广泛的关注,很多学者研究了六阶抛物方程,得到了一些结果,例如解的存在性,惟一性和正则性[4]-[8].然而,据我们所知,对于方程（1）的研究结果却很少,Pawlow和Za j aczkowski[9]考虑了问题（1）-（3）当γ1=1,α2>0的初边值问题,证明了初边值问题存在惟一的全局光滑解,并且解连续依赖初值G.Schimperna等[10]研究了带有粘性项△ut的方程其中f（r）=F’（r）,F（r）具如下的对数位势他们研究了在参数γ趋于0时,六阶方程解的相应性质,惟一性和正则性也在文章中得到证明G.schimperna[42]等考虑了如下带有奇异扩散项的高阶抛物方程,其中m（r）=M’（r）,M（r）=（1-r）log（1-r）+（1+r）log（1+r）,r∈[一1,1]及。（r）=2/1-γ2,作者证明了对于任意时间T,问题都存在一个定义在（0,T）上的能量型弱解.以上研究的都是具有常数迁移率的油水表面活性剂模型.实际问题中迁移率可能是浓度相关的函数,Liu[11]研究了具有非常数迁移率的方程并且在二维情况下证明了古典解的存在性.本文的目的是研究具常数迁移率的油-水-表面活性剂方程（1）的解的某些性质.在第二章中,我们首先研究其中Ω是Rn（n≤3）上的具有光滑边界的有界区域,并且γ>0,这里f（u）=F’（u）,F（u）和α（u）在（2）,（3）中给定,对方程（1）附加如下边值条件和初值条件值得注意的是,在油水模型方程推导的过程中,若不加表面活性剂,α（u）为正,而加入表面活性剂之后,α（u）系统的最小值出现在u=0时,但是随着表面活性剂的增加,则两亲分子的浓度α（u）在微乳液相中可以变为负数（[1]）,所以从物理化学及数学的角度,在我们的研究过程中是不要求α2,α0∈R的符号,我们首先考虑存在性,目的是在γ1,α2和α0不限制为正数的情况下,得到解的存在性.由于四阶扩散项和二阶扩散项的非线性,使得我们在做先验估计时遇到了一定的困难,我们主要利用了方程特有的能量泛函,F（u）,f（u）及其导数所具备的结构,并利用了Nirenberg不等式等一系列不等式来处理困难.在研究解的爆破性质的时候,不仅要考虑α（u）和f（u）所带来的困难,还要考虑u2|（?）Vu|2及|（?）u|2.我们除利用方程的能量泛函外还要引入如下的函数w,而w为下述方程的惟一解借助w的性质,我们就证明了古典解不必整体存在,也就是说如果γ1>0,α2>0或α2<0且γ充分大时,问题有整体古典解,而在其他情况下,解有限时间爆破.然后,我们考虑了油-水-表面活性剂系统的吸引子的存在性.方程的动力学性质在高阶抛物方程的研究中尤为重要,例如,整体解的渐近行为,整体吸引子的存在性等.在过去的一段时间内,很多学者对非线性耗散动力系统的吸引子表现出了浓厚的兴趣,经典的结果是由Temam[79]和Hale[80]给出的,在这之后又得到了大量的结果,例如[12]-[15],[81]-[85].G.Schimperna做了大量的关于Cahn-Hilliard方程吸引子的工作,作者在三维情形下,考虑了其带有非常数迁移率的标准和粘性问题的吸引子的存在性[43],又考虑了带有惯性项的粘性方程[70],并给出了整体吸引的存在性,而在[45]中给出了一类具有依赖化学势迁移率的Cahn-Hilliard方程的整体吸引子的存在性.在此之后,吸引子又进一步得到了发展,L.Song等[49]首先研究了二阶半线性方程其中(d>0且9（χ,u）的形式为作者证明了上述方程的初边值问题在Hk（k≥0）空间吸引子的存在性,在此基础上又研究了[48]如下四阶方程的初边值问题其中9（u）具有多项式形式作者给出了上述问题的Hk（k≥0）吸引子,紧接着又在[46],[47]中给出另外两个四阶抛物方程在Hk（k≥0）空间上吸引子的存在性.据我们所知,对于六阶抛物方程的整体吸引子的研究还不是很多,只有Korzec等[44],在一维和二维情形下,证明了六阶方程的整体吸引子的存在性.我们利用能量泛函的方法考虑了油水模型的整体吸引子的存在性.我们利用对线性半群的正则性估计,结合迭代技术和整体吸引子的经典存在性理论来证明（1）-（3）在Hk（k≥0）空间上存在整体吸引子.相比于L.Song等研究的四阶方程,本节的困难主要是由于非线性项△（α（u）△2u+（a’（u））/2｜▽u｜2）和△f（u）存在,我们需要作出更高阶的估计,这些估计是复杂的和很难得到的.我们也利用半群的相关知识调整迭代过程.本章最后,我们考虑带有粘性项的方程证明方法与标准方程的证明类似,由于粘性项δ△ut的存在,使得证明解的先验估计时,出现了一些差别,另外在证明解的吸引子时,迭代过程中与使用嵌入定理有所不同,也得到了类似于标准方程的结果.第三章中,我们考虑最优控制问题.从二十世纪50年代起,最优控制问题引起了学术界的高度重视.大部分的控制理论及应用都是由ODE来表示,但是随着科技应用的发展,同样需要解决由PDE表示的最优控制问题.目前,很多学者对抛物方程的最优控制问题做了大量的研究,首先关于Burgers方程得到了许多有价值的结果[29],[71]-[77]Armaou和Christofides[30]研究了Kuramto-Sivashing方程的反馈控制问题.除此之外,很多学者研究了高阶抛物方程的最优控制问题.Yong和Zheng[27]在具有光滑边界的有界区域上研究了Cahn-Hilliard方程的回馈稳定和最优控制问题Tian等[23]研究了粘性抛物方程的最优控制问题,例如粘性Camassa-Holm方程给出了最优解的存在惟一性,Tian等[25,26]利用类似的方法处理了粘性Degasperis-Procesi方程,粘性Dullin-Gottualld-Holm方程,同样得到了最优解的存在惟一性.最近,对于Cahn-Hilliard方程,同样得到了一些结果,参见[28],[20],[21]Wang [50]考虑了半线性抛物方程的最优控制的必要条件.综上所述,上述的问题都是研究四阶及以下的方程的最优控制问题,还没有对油-水-表面活性剂模型的最优控制问题的研究,所以我们首先利用Galerkin方法给出油-水-表面活性剂模型的最优控制问题的弱解的存在性,与四阶方程相比较,由于非线性项△（α（u）△u+（a’（u））/2｜▽u｜2）的存在,我们在做估计时,需要利用方程的能量泛函并调整所使用的不等式,来达到证明弱解存在性的目的.在这些估计的基础上,利用Lions关于最优解的经典理论来证明了最优解的存在性,同样是由于非线性项的干扰,使得我们在研究的过程中需要结合非线性项的特点,选择变量收敛的空间及收敛的方式.我们也给出了最优控制条件.本章最后,我们考虑了具有粘性项的油-水-表面活性剂模型的最优控制问题,在证明的过程中,我们利用变换在形式上改变了最优控制问题,再利用前面相同的方法之后,得到了具有粘性项问题的最优控制解的存在性.第四章,我们研究方程的周期解问题.从十九世纪到现在,扩散问题得到了广泛的研究,特别是周期问题引起了学术界极大的兴趣.据我们所知,对于二阶方程的周期问题已经得到了很多结果,例如[51,52,53,54].注意到高阶扩散方程可以用来描述生物种群、人口的扩散和迁徙等周期模型[55,56],有一些数值结果用来解释此类现象[67,68,69].周期解对于高阶抛物方程尤为重要,过去一段时间,很多学者研究了高阶抛物方程的周期解.包括空间周期问题[57,58,59,60,61],周期边值问题[62,63,64,65,66].Yin等[35,36,37]考虑了一类Cahn-Hilliard型方程并在一维情形下证明时间周期解的存在性Wang等[34]利用Galerkin方法和Leray-Schguder不动点定理,在一维和二维情形下,证明了广义Ginzburg-Landau模型方程的广义周期解和古典周期解的存在惟一性.在[32]中作者利用类似的方法研究了Camassa-Holm方程证明了时间周期解的存在唯一性.然而,还有一些物理模型需要在二维或高维空间上考虑周期解,例如油膜在固体表面的扩散.所以无论从数学本身还是物理背景都需要研究高维情形,因此我们要在高维空间研究油-水-表面活性剂模型的周期解.为达到这个目的,我们首先引入算子G,在得到了算子的紧性及解的一些必要估计后,我们将在合适的泛函空间上得到算子的不动点（其中σ=1）,即为问题的解.相比于四阶方程,由于四阶项和二阶扩散项的非线性项的存在,得到uσ和（?）uσ的Holder连续性还不足以证明主要定理,我们还需要△uσ的Holder连续性,为解决这个困难,我们主要利用Schauder型先验估计的方法来处理,先验估计将由调整Campanato空间得到.