论文摘要
为探讨非线性可积微分—差分方程族的形成及性质,本文分别构造了若干个微分—差分可积模型,并对孤立子方程的的可积性、Darboux变换、无穷多守恒律、非线性化作了研究。众所周知,在物理学、化学及生物学中的许多些现象是以微分—差分方程作为模型建立起来的,如Toda晶格方程和Volterra晶格方程等。因此对微分—差分可积系统的研究具有一定的实际意义。然而,不同于连续可积模型,微分—差分可积系统难于建立,这一方面的相关文献较少。本文中,提出了若干个离散的等谱特征问题,导出了相应的1+1、2+1维孤立子方程,并利用屠格式对方程族的结构作了近一步的研究。为求解所提出的方程,本文根据谱问题的不同而建立了不同的Darboux变换,作为应用,得到了1+1、2+1维微分—差分方程的孤立子解,并借助于计算机代数给出了解的图形。众所周知,无穷多守恒律是孤立子方程具有的一种重要性质。本文基于谱问题的特点利用直接方法导出了1+1、2+1维微分—差分方程的无穷多守恒律。在文章的最后,非线性化方法被应用于离散的可积系统,从而将一个无限维非线性微分—差分可积系统分解为两个有限维可积系统。
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