一类半性抛物方程解的爆破

论文摘要

研究半线性抛物方程全局解的存在与不存在问题。特别是证明了非局部的半线性抛物方程在有界域上的适定性问题。通过使用在BV函数空间上的估计手段和Gamma收敛技术,我们不但得到了问题解的局部存在性和唯一性,而且证明了整体解的存在与衰减的性质。特别是给出了问题解爆破的充分条件,从而揭示了能量爆破与衰减的关系。文章利用最小化算子的相关技术找到系统势能的界限,从而通过控制其与动能的关系,得到小初值问题的全局存在性和能量衰减的性质。如果能量满足负定的条件,则问题不存在全局解。通过给出一个局部解不存在的充分条件来说明解直到某一时间点不存在,然后进一步使用对问题解的估计技术以及其满足特定的微分不等式的技巧,最终得到解的有限时间爆破。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 概述
• 1.2 解的存在性和爆破及相关问题
• 1.3 问题的提出
• 1.4 研究动机
• 1.5 主要结果
• 1.6 背景简述
• 1.7 论文的结构
• 第2章 解的局部存在性
• 2.1 局部存在性定理
• 2.2 定理证明
• 2.3 本章小结
• 第3章 解的爆破
• 3.1 能量衰减与微分不等式
• 3.2 解的有界性估计
• 3.3 有界性与爆破的证明
• 3.4 本章小结
• 第4章 GAMMA收敛技术的最优化
• 4.1 最优化结果的证明
• 4.2 关于证明的讨论
• 4.3 本章小结
• 第5章 全局解的存在性
• 5.1 全局解的存在性
• 5.2 解的先验估计
• 5.3 全局存在与衰减的证明
• 5.4 本章小结
• 第6章 GAMMA收敛的证明
• 6.1 能量最小化及其证明
• 6.2 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果
• 致谢