基于样条函数的二阶奇异边值问题数值解法研究

论文摘要

在实际工程中所遇到的微分方程,一般情况下,很难求出其解析解,因此,研究微分方程的数值解方法是十分重要和必要的。样条函数在函数逼近、计算几何、计算机辅助几何设计、有限元、小波分析及微分方程数值解等领域中均有较为广泛的应用。在前人研究的基础上,本文主要用样条函数研究了一类二阶奇异边值问题的数值解法,给出了求解其数值解的两种方法,并通过算例验证方法的可行性和有效性。第一章介绍微分方程数值解法研究的重要性,奇异微分方程的实际应用背景及一些基本概念和基本知识。第二章讨论了求解奇异边值问题的数值解方法,主要是对已有的,特别是近几年来的新方法进行了总结与比较。主要涉及三个方面：一、利用B样条求解一类奇异边值问题和相关的数值算例；二、应用高阶有限差分求解奇异边值问题和相关的数值算例；三、应用三次样条函数求解奇异边值问题。第三章讨论了三次样条函数在求解一类二阶奇异边值问题数值解中的应用。在此基础上,本文用二阶导数的三点差分格式以及一阶导数的五点差分格式分别来对三次样条法进行了修改,并通过数值算例验证了该方法的可行性和有效性。第四章介绍了用样条函数构造其他类型的微分方程数值解的方法。第五章总结全文并对未来的工作进行了展望。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 致谢
• 第一章 绪论
• 1.1 微分方程数值解研究的重要性
• 1.2 奇异边值问题
• 1.3 基本概念和基本知识
• 1.3.1 三次样条插值
• 1.3.2 B样条
• 1.3.3 有限差分法
• 第二章 求解奇异边值微分方程的一般方法
• 2.1 奇异边值问题的B样条解
• 2.1.1 数值方法
• 2.1.2 数值例子
• 2.2 奇异边值问题的高阶有限差分法
• 2.2.1 数值方法
• 2.2.2 数值例子
• 2.3 奇异边值问题的三次样条法
• 2.3.1 数值方法
• 2.3.2 数值例子
• 第三章 改进的基于三次样条函数的奇异边值问题数值解法
• 3.1 改进的基于三次样条函数的奇异边值问题数值解法一
• 3.1.1 数值方法
• 3.1.2 数值例子
• 3.2 改进的基于三次样条函数的奇异边值问题数值解法二
• 3.2.1 数值方法
• 3.2.2 数值例子
• 第四章 样条函数与其他类型的微分方程
• 4.1 四阶抛物型偏微分方程的五次B样条解
• 4.1.1 引言
• 4.1.2 数值方法
• 4.1.3 结论
• 4.2 样条函数与其他类型的偏微分方程
• 第五章 总结与展望
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的论文