非线性发展方程求解的研究

论文摘要

在许多像流体力学、生物、数学、等离子体、光学、通信等自然科学领域里，孤立子得到了广泛的研究和应用，具有非常重要的意义。本文主要研究几个非线性发展方程的求解，包括以下几个方面的内容：1．获得了变系数Ginzburg-Landau（GL）方程的一些新的精确解（类孤子解，相似解等）。通过将一假设直接带入变系数GL方程，我们可以获得它的一些新的精确解（类孤子解，相似解等），随后分析和讨论了这些精确解的性质和特点。2．进一步研究了广义复变系数GL方程的解的情况。利用一个特殊的变换，在变系数满足一定的约束条件时，能够将广义复变系数GL方程转化成一些已知的经典方程，如Kadomtsev-Petviashvili （KP）方程。而这些已知的经典方程已经被做了很多的研究工作，人们获得了它们的各种各样的解的情况，将这些解带入已经构造的变换中，我们就能够得到广义复变系数GL方程相应的解。3．探讨了广义变系数KP方程的自B（?）cklund变换和孤波型解。我们应用截断Painlevé展开法和符号计算得到了广义变系数KP方程的一个自B（?）cklund变换。通过使用这个自B（?）cklund变换我们得到了广义变系数KP方程的孤波型解。4．进一步推广了齐次平衡法，并用推广后的齐次平衡法获得（2+1）维广义变系数KdV方程的自B（?）cklund变换及更多的孤子型解。5．利用经典Lie群方法和推广的tanh函数法分别获得（2+1）维球KP方程新的相似约化，类孤子解及三角周期解。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
• 1.1 孤立子的发现和研究概况
• 1.2 近期发展的特点
• 1.3 非线性偏微分方程
• 1.4 本文的研究内容及安排
• 第二章 变系数Ginzburg-Landau（GL）方程的精确解
• 2.1 变系数GL方程及其应用
• 2.2 变系数GL方程的精确解
• 2.3 分析和讨论
• 第三章 广义复变系数Ginzburg-Landau（GL）方程的求解
• 3.1 广义复变系数GL方程
• 3.2 广义复变系数GL方程及四个变换
• 3.3 分析和讨论
• 第四章 广义变系数KP方程的自B（?）cklund变换及孤子型解
• 4.1 广义变系数KP方程及应用
• 4.2 广义变系数GKP方程的自B（?）cklund变换及孤子型解
• 4.3 分析和讨论
• 第五章 （2+1）维广义变系数KdV方程的自B（?）cklund变换及孤子型解
• 5.1 齐次平衡法的一般理论
• 5.2 （2+1）维广义变系数KdV方程的自B（?）cklund变换及孤子型解
• 5.3 分析和讨论
• 第六章 （2+1）维球KP方程的相似约化,类孤子解及三角周期解
• 6.1 （2+1）维球KP方程
• 6.2 推广的tanh函数法和类孤子解及三角周期解
• 6.3 经典Lie群方法和相似约化
• 致谢
• 参考文献
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