算子方法在特殊函数方面的一些应用

论文摘要

本文研究了算子方法在特殊函数方面的一些应用,例如推广一些多项式函数,构造新的特殊函数等,也进一步研究了它在q-级数方面的一些应用.具体按照章节内容顺序摘要如下：一、利用算子方法推广了一些多项式函数.首先,通过研究和Laguerre型指数相关的一个迭代同构推广了Tricomi函数和Hermite-Tricome函数,主要研究了推广的3个变量2个指标的Tricomi函数和4个变量2个指标单参数的Hermite-Tricomi函数的一些性质,包括生成函数、递推关系、满足的微分方程以及其它一些函数关系.这些结果包含了S. Khan[80]中的主要结果；其次,利用算子方法定义了和r个变量Gould-Hopper多项式相关的Hermite基的Sheffer多项式.作为特例,主要研究了和r个变量Gould-Hopper多项式相关的Hermite:基的Appell多项式的一些性质,包括生成函数和满足的微分方程.这些性质可以用来推导包含这些多项式的一些等式,而且包含了S.Khan[82]的主要结果.二、利用算子方法构造了一些新的特殊函数.首先,利用算子方法和积分转化来处理分数次导数的问题,定义了一类新的特殊多项式类,研究了它的一些性质,如生成函数、满足的微分方程和一些算子关系等式,此外还研究了它的一些推广形式；其次,利用算子方法定义了一类性质介于Laguerre多项式和Legendre多项式之间的混合函数,并研究了它的一些性质、应用和推广三、利用算子方法研究了相关Bernoulli多项式和相关Euler多项式的一些性质.首先,用算子方法研究了单变量的相关Bernoulli多项式和相关Euler多项式的递推关系、所满足的微分方程以及和其它多项式的连接问题等性质.利用算子方法给出了它们的Hermite基的推广,并且研究了推广多项式的一些基本性质和相互之间的联系公式.这些公式包含了M. X. He和P. E. Ricci[78], Q.-M. Luo和H. M. Srivastava[110]中的某些结果；其次,把2个变量的Bernoulli多项式推广到了多变量的Bernoulli多项式,利用算子方法研究了它们的递推关系、满足的微分方程以及一些表示公式等性质.还从一个新的算子角度定义了伪Bernoulli多项式,并研究了它们的一些基本性质.这些结论补充和推广了G. Bretti和P. E. Ricci[19]中的主要结果.四、利用算子方法研究相关q-级数的问题.首先,利用一个线性算子Lp构造了q-Appell基多项式,并研究了它们的生成函数和满足的微分方程等性质,还利用这些性质推导了包含这些多项式的一些关系等式；其次,利用一个新的解差分方程的方法证明了几个常用的Cauchy算子等式,然后利用这几个等式得到了双边Rogers-Szego多项式的一个生成函数.同时利用参数扩张的技巧,又得到了两个Kalnins-Miller转化的多元推广形式.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 目录
• 主要符号对照表
• 第一章 前言
• 1.1 研究背景
• 1.1.1 选题背景及意义
• 1.1.2 国内外研究现状
• 1.1.3 论文的特色与创新之处
• 1.2 预备知识
• 1.2.1 单项法则（the monomiality principle）
• 1.2.2 两类重要的特殊函数多项式
• 1.2.3 q-二项式定理和q-级数
• 第二章 算子方法和多项式函数的推广
• 2.1 Tricomi函数和Hermite-Tricomi函数的推广
• x^s'>2.1.1 Laguerre导数和微分同构T_x^s
• 2.1.2 Tricomi函数的推广及性质
• 2.1.3 Hermite-Tricomi函数的推广及性质
• 2.2 Hermite基Appell多项式的推广
• 2.2.1 多变量Hermite多项式和Appell多项式
• 2.2.2 多变量的Hermite基Sheffer多项式
• 2.2.3 多变量Hermite基Appell多项式的性质和应用
• 第三章 算子方法和新的特殊函数的构造
• 3.1 积分转化和一类新的特殊函数
• 3.1.1 Laguerre导数算子和分式导数
• 3.1.2 积分转化和新的特殊函数多项式
• 3.2 Laguerre-Legendre型混合多项式
• 3.2.1 双正交和一些两个变量特殊函数多项式
• 2;n（x,y）'>3.2.2 Laguerre-Legendre型混合多项式R_2;n（x,y）
• 2;n（x,y）的一些推广'>3.2.3 多项式R_2;n（x,y）的一些推广
• 第四章 算子方法和相关Bernoulli多项式和Euler多项式的一些性质
• 4.1 单变量相关Bernoulli多项式和相关Euler多项式的一些性质
• 4.1.1 相关Bernoulli多项式和Euler多项式
• 4.1.2 两个引理
• 4.1.3 高阶Bernoulli多项式和高阶Apostol-Bernoulli多项式的些性质
• 4.1.4 高阶Apostol-Bernoulli多项式的一个推广
• 4.1.5 高阶Apostol-Euler多项式的一些性质
• 4.1.6 高阶Apostol-Euler多项式的一个推广
• 4.2 2个变量Bernoulli多项式的一些推广
• 4.2.1 多变量Hermite多项式和伪Hermite多项式
• 4.2.2 多变量的Bernoulli多项式
• 4.2.3 伪Bernoulli多项式
• 4.2.4 与本章内容相关的论文发表情况
• 第五章 算子方法在q-级数上的一些应用
• 5.1 q-Appell基多项式的性质和应用
• 5.1.1 q-Appell多项式和引理
• 5.1.2 q-Appell基多项式
• 5.2 q-差分方程和Cauchy算子等式
• 5.2.1 研究动机
• 5.2.2 Cauchy算子等式
• 5.2.3 双边Rogers-Szego多项式
• 5.2.4 Kalnins-Miller转化的多元推广
• 5.2.5 与本章内容相关的论文发表情况
• 附录A 指数算子的一些运算公式和法则
• 附录B 常用的几个特殊函数多项式的生成函数
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表和完成的论文情况
• 致谢