两种时滞偏微分方程的差分解法

论文摘要

本论文主要研究时滞偏微分方程的数值方法,并进行理论分析。一般情况下,只有极少数时滞偏微分方程能够获得精确解的解析表达式。因此,研究数值方法不仅在理论方面,而且在应用方面都显得尤为重要。本论文的研究成果如下:1.以一种时滞双曲型偏微分方程初边值问题为模型,详细研究了求解该问题的精细时程积分法,并证明了数值稳定性。利用变量替换和四阶精度半离散差分格式将关于时间变量的二阶偏微分方程化为关于时间变量的一阶微分方程组,应用精细时程积分法于时滞微分方程组,得到了高精度的近似解。2.首先引入精确差分格式的概念,然后对某些特殊的方程构造它们的精确差分格式,再根据这些差分格式的特点总结出一些构造此类格式的规律。运用这些规律构造差分格式的方法我们称之为非标准有限差分法。构造的差分格式称为非标准有限差分格式。在文章中,将运用非标准有限差分法对非线性时滞反应扩散偏微分方程构造非标准差分格式。我们会发现运用此方法构造的差分格式满足解的正性和有界性条件,从而差分格式是关于精确解的正性和有界性稳定。由正性条件也可得出时间步长和空间步长之间是具有某种函数关系。在对导数离散后的分母函数也不再是简单的步长变量,而变成了较为复杂的步长函数。总之,本文以两个时滞偏微分方程为模型,构造了两种数值解法,并对每一种数值解法都进行了理论分析。数值试验表明,本文提出的算法是有效的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 时滞微分方程的背景
• 1.2 本课题的研究现状
• 1.3 本文研究的主要内容
• 第2章 时滞双曲型方程的差分精细积分法
• 2.1 引言
• 2.2 初边值问题的差分精细积分法
• 2.3 稳定性的证明
• 2.4 数值算例
• 2.5 本章小结
• 第3章 时滞反应扩散方程的非标准差分法
• 3.1 预备知识
• 3.2 非标准差分格式的构造
• 3.3 稳定性的证明
• 3.4 数值算例
• 3.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢