常微分方程初值问题的线性多步法基本公式的研究及构造

论文摘要

本文在前人对常微分方程初值问题的线性多步法公式状况研究的基础上,进行了进一步的探索研究。在前人提出线性多步法基本公式的概念及已推导出求解常微分方程初值问题的2-3步法全部基本公式的基础上,本文推导了4步法全部基本公式,并对其进行了筛选,选择出收敛公式。并研究了这些公式的误差和稳定性。同时,尝试使用一种新的方法构造线性多步法公式。本文工作如下:首先,在前人定义了线性多步法公式的基本概念的基础上,推导出求解常微分方程初值问题的4步法全部基本公式。然后,运用Matlab数值计算,应用线性多步法公式收敛条件,搜索出4步法全部基本公式中具有收敛性的公式,得到这些公式的分数形式的系数、误差主项系数、阶及绝对稳定区域,绘出其绝对稳定区域的图形,并进行误差及稳定域的研究。最后尝试使用一种新的方法构造线性多步法公式——用加权平均方法构造线性多步法公式。同时,给出了构造原理及判断构造公式优劣的标准。在本文中给出了两个构造新的线性多步法公式的数值试验,并对构造生成的新公式的收敛性、稳定性、阶、截断误差主项系数等性质进行分析。经试验证明,这种方法具有可行性,某些所得新公式在求解刚性问题中具有较好实用性。本文的研究对常微分方程初值问题数值方法及刚性问题的理论和应用研究具有较大意义,在前人的研究基础上,作了进一步的补充和扩展。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 绪论
• 2 线性多步法与刚性方程的基本理论
• 2.1 常微分方程的数值解法
• 2.2 线性多步法的构造
• 2.3 线性多步法的相容性与误差估计
• 2.4 线性多步法的收敛性与稳定性
• 2.5 线性多步法的绝对稳定性与绝对稳定域
• 2.6 线性多步法的边界轨迹法
• 2.7 刚性方程的线性多步法稳定性概念
• 3 线性四步法基本公式的推导方法及分析
• 3.1 线性多步法基本公式的推导方法及相关性质判定
• 3.1.1 线性多步法基本公式的推导方法
• 3.1.2 线性多步法基本公式收敛性、截断误差系数及稳定域的判定
• 3.2 线性四步法基本公式的分析
• 3.2.1 收敛的线性四步法全部基本公式构造条件组合
• 3.2.2 收敛的线性四步法全部基本公式结果分析
• 3.3 本章小结
• 4 用加权平均方法构造新的线性多步法公式
• 4.1 用加权平均方法构造新公式的基本思想
• 4.2 新公式性能的判断
• 4.3 实验方案一及相应的数值试验
• 4.3.1 实验方案
• 4.3.2 数值试验
• 4.4 实验方案二及相应的数值试验
• 4.4.1 实验方案
• 4.4.2 数值实验及证明
• 4.5 本章小结
• 5 结论
• 致谢
• 参考文献
• 附录
• 作者在攻读硕士学位期间发表的论文