基于正则化方法的一类实时跟踪问题的应用研究

论文摘要

对于处于融化过程的固体，可以利用在固定边界处测量得到的温度和热流数据，实时估计液体和固体之间的动态边界（相变界面）。由于在实际过程中无法在液体边测量其温度和热流，因此，该类问题无法通过直接Stefan问题求解来得到相变界面的实时跟踪。本文将该类问题的求解归结为一类不适定反Stefan问题来求解，给出了一种基于Tikhonov正则化方法的滑动区间跟踪算法。首先，针对这样一个跟踪问题，本文提出基于反馈控制思想的参考模型法，对热系统参数-相变界面进行辨识与跟踪。该方法基于一个相变过程的数值仿真模型，模型的建立基于已知的相变界面和固定边界处测得的温度和热流。控制方程建立在固体区域，采用有限元方法离散温度场。模型的精度通过与Neumann获得的解析解的比较而得到验证。文中还对模型的参数：测量时间步长、模型时间离散步长和空间离散步长做了优化讨论，并比较了已有的有限元模型，给出了仿真结果。其次，由于该问题是一个不适定反问题，本文采用Tikhonov正则化方法，通过在目标价值函数中增加调节项以达到压缩解空间，稳定数值解的目的，从而在很大程度上解决了该问题的不适定性。再次，本文在一个较小的时间子区间上计算目标价值函数并对其优化，通过使该子区间在时间轴上向前滑动以达到实时跟踪的目的。在优化的过程中，考虑到多元函数优化算法在实际中稳定性较差，收敛速度较慢，利用了相变界面在实际过程中变化比较缓慢这一先验知识，在滑动区间内对其做线性假设，从而将一个多元函数的优化问题转化为一元函数的优化问题，提高了算法的稳定性，减少了优化时间。最后，针对几种不同的相变界面变化轨迹，给出了仿真结果，进行了参数优化讨论。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 论文主要工作
• 2 问题的提出
• 2.1 传热学的基本概念
• 2.1.1 热量传递的三种基本方式
• 2.1.2 热系统方程及单值性条件
• 2.2 问题的数学描述及求解方法
• 2.3 热系统的低通特性
• 3 不适定反问题概述
• 3.1 适定问题和不适定问题
• 3.1.1 问题适定性
• 3.1.2 反问题和不适定问题
• 3.2 不适定问题的正则化方法
• 3.2.1 一般的正则化理论
• 3.2.2 Tikhonov正则化方法
• 4 基于有限元的I/O数值模型
• 4.1 数值解法简介
• 4.2 基于有限元的数值模型
• 4.2.1 模型的建立
• 4.2.2 “实验”数据的产生
• 4.2.3 仿真结果分析
• 4.3 两个有限元模型的比较
• 5 相变界面的实时跟踪
• 5.1 实时跟踪算法实现
• 5.2 相变界面轨迹按不同规律变化时的仿真试验
• 5.2.1 无噪声情况下的跟踪问题
• 5.2.2 有噪声情况下的跟踪问题
• 5.3 问题的小结
• 结束语
• 致谢
• 参考文献
• 在攻读硕士期间所发表的论文