求解几类非线性矩阵方程的数值算法

论文摘要

非线性矩阵方程的求解问题是近年来数值代数领域和非线性领域中研究和讨论的重要课题之一，它在结构设计，系统识别，动态规划，自动控制理论，振动理论，统计学等领域有着广泛的应用．本篇博士论文研究了以下几类应用广泛的非线性矩阵方程：1．对称非线性矩阵方程：2．矩阵的平方根：X2-A=0．3．二次矩阵方程：AX2+BX+C=0．本文的主要研究工作如下，1．第1章阐述了课题的研究意义和发展概况．第2章、第3章、第4章主要研究了对称非线性矩阵方程，其中第2章分析了它的Hermitian正定解的存在性和唯一性，以及正定解的性质并给出了两个数值算法求它的最大Hermitian正定解．第3章对最大Hermitian正定解的敏感性和向后误差进行了分析．第4章讨论了更一般的对称非线性矩阵方程．2．在科学与工程问题中，求矩阵的平方根是常见的问题，其中Newton法是比较好的算法．然而，在每Newton迭代步解Lyapunov方程比较困难和运算量大，简化Newton法运算量小但数值不稳定．在第5章，将精确线性搜索与Newton法结合得到一个算法，该算法具有Newton法的优点且比Newton法有较高的效率．将精确线性搜索与简化Newton法相结合得到一个算法，该算法具有简化Newton法的优点且比简化Newton法有较好的数值稳定性．3．第6章、第7章、第8章主要研究了一般的二次矩阵方程．第6章在Newton算法、精确线性搜索和（?）amanskii技术基础上提出一个算法，它有局部立方收敛阶，比Newton算法有更高的效率．第7章提出不精确Newton算法，在每迭代步它不需要精确求Sylvester方程的解但算法有超线性收敛．第8章提出了最速下降算法，它有效避免了某些迭代值Newton迭代无法进行的情况．此博士论文得到了国家自然科学基金10571047和教育部博士点基金20060532014的资助．此博士论文用LATEX2ε软件打印．

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题的研究意义
• 1.2 课题的发展概况
• 1.3 本文的主要工作及创新点
• 1.4 本文所用的记号
• *X^-1A+B^*X^-1B=I的Hermitian正定解'>第2章 非线性矩阵方程X+A^*X^-1A+B^*X^-1B=I的Hermitian正定解
• 2.1 引言
• 2.2 正定解存在的条件
• 2.3 迭代算法
• 2.4 数值例子
• *X^-1A+B^*X^-1B=I的扰动分析'>第3章 非线性矩阵方程X+A^*X^-1A+B^*X^-1B=I的扰动分析
• 3.1 引言
• 3.2 方程的扰动分析
• 3.3 向后误差分析
• 3.4 数值例子
• i=1^mA_i^*X^-δ_iA_i=I,δ_i∈(0,1]的Hermitian正定解'>第4章 非线性矩阵方程X+∑_i=1^mA_i^*X^-δ_iA_i=I,δ_i∈(0,1]的Hermitian正定解
• 4.1 引言
• i=1情形'>4.2 δ_i=1情形
• i<1情形'>4.3 0<δ_i<1情形
• 4.4 数值例子
• 第5章 精确线性搜索的Newton法求矩阵的平方根
• 5.1 引言
• 5.2 Newton法和简化Newton法
• 5.3 精确线性搜索的Newton法或简化Newton法
• 5.4 数值例子
• 第6章 解二次矩阵方程的精确线性搜索Newton法的改进
• 6.1 引言
• 6.2 记号与引理
• 6.3 算法
• 6.4 数值例子
• 第7章 不精确牛顿法解二次矩阵方程
• 7.1 引言
• 7.2 不精确牛顿法和它的收敛性
• 7.3 算法
• 7.4 数值例子
• 第8章 最速下降法解二次矩阵方程
• 8.1 引言
• 8.2 Newton法解二次矩阵方程
• 8.3 最速下降法解二次矩阵方程
• 8.4 数值例子
• 结论
• 参考文献
• 致谢
• 附录A （攻读学位期间完成和发表的学术论文目录）