二阶Hamilton系统同宿轨的存在性与多解性

论文摘要

在本文中,我们首先研究下面的二阶Hamilton系统：u（t）-L（t）u（t）+▽W（t,u（t））=0, t∈R. （0-1）我们做如下的假设：（A1）L（t）和W（t,x）关于t是1-周期的；（A2）L（t）对于所有的t∈R一致正定；（W2）当x→0时,▽W（t,x）|/|x|→0对所有t∈R成立；（W3）当x→∞时,W（t,x）/|x|2→+∞对于t∈R成立；（W4）存在常数α0>1,d1>0,d2>0使得|▽W（t,x）|≤d1|x|α0+d2对所有t∈R和x∈RN成立；（W5）存在常数β≥α0,d3>0,R1>0使得（▽W（t,x）,x）-2W（t,x）≥d3|x|β对所有的t∈R和|x|≥R1成立；（W5’）存在常数α>α0-1,d4>0,r1>0使得（▽W（t,x）,x）-2W（t,x）≥d4|x|α对所有的t∈R和|x|≥r1成立；（W6）（▽W（t,x）,x）≥2W（t,x）≥0对所有t∈R和x∈RN{0}成立；（W6’）（▽W（t,x）,x）>2W（t,x）≥0对所有的t∈R和x∈RN{0}成立；（W7）存在有界集B（?）R,其中int（B）≠0,和常数μ>2,θ>μ/（μ-2）满足（ⅰ）0＜μW（t,x）≤（▽W（t,x）,x）对所有t∈B和x∈RN{0}成立；（ⅱ）0≤2W（t,x）≤（▽W（t,x）,x）≤1/θ（L（t）x,x）对所有t（?）B和x∈RN成立（W8）对任意0<a<b,令则Ca,b>0；（W9）存在常数R2>0,使得W（t,x）≥0对所有t∈R.|x|≤R2成立;（W12） W（t,x）=W（t,-x）对所有t∈R和x∈RN成立;（L**）存在常数γ>1使得meas（t∈R||t|-γL（t）（?）M0IN）<+∞对所有M0>0成立；（L1）对L（t）的最小特征值l（t）（?）inf|x|=1（L（t）x,x）,存在常数γ>1使得当|t|→∞时有l（t）|t|-γ→+∞；（L2）存在常数ξ>0和r>0至少使得以下命题之一成立：（ⅰ）L∈C1（R,RN2）,|L’（t）x|≤ξ|L（t）x|对所有|t|>r和x∈RN且|x|=1成立；（ⅱ）L∈C2（R,RN2）,（（ξL（t）-L"（t））x,x）≥0对所有|t|>r和x∈RN且|x|=1成立,其中L’（t）=（d/dt）L（t）,L"（t）=（d2/dt2）L（t）；（L3）存在常数l1≥0使得l（t）:=inf|x|=1（L（t）x,x）≥-l1对所有t∈R成立.我们得到如下的结果：定理2.3假设L∈C（R,RN2）和W∈C1（R×RN,R）满足条件（A1）,（A2）,（W2）-（W4）,（W5’）和（W6’）,那么系统（0-1）至少有一个非平凡的同宿轨解.定理2.5假设L∈C（R,RN2）和W∈C1（R×RN,R）满足条件（A2）,（W2）,（W7）,那么系统（0-1）至少有一个非平凡的同宿轨解.定理2.7假设L∈C（R,RN2）和W∈C1（R×RN,R）满足条件（L1）,（L2）,（W2）-（W4）,（W5’）,（W8）和（W9）,那么系统（0-1）至少有一个非平凡的同宿轨解.定理3.2假设L∈C（R,RN2）和W∈C1（R×RN,R）满足条件（L**）,（L3）,(W2（W6）,（W12）,那么系统（0-1）存在无穷多的同宿轨解.接下来我们考虑下面的Schrodinger方程：-△u+V（x）u=f（x,u）,x∈RN. （0-2）我们的主要结果如下：定理4.1假设V∈C1（RN,R）和f∈C（RN×R,R）满足（D1）存在常数M≥0使得V（x）≥-M对所有x∈RN成立;（D2）对任意r>0和任意趋于无穷大的子列（xn）（?）RN有其中μn={u∈H01（Bn）（?）u‖L2（Bn）=1}且Bn=B（xn,r）表示以xn为心,r为半径的开球;（D3）当|s|→∞时,f（x,s）/s→+∞关于x一致成立；（D4）存在θ≥1使得θF（x,s）≥F（x,ts）对所有（x,s）∈RN×R和t∈[0.1]成立,其中F（x,s）=f（x,s）s-2F（x,s）,F（x,s）=∫0sf（x,z）dz.另外,假设存在常数C和函数K∈Lloc∞（RN,R）,其中K（x）≥C>0对所有x∈RN成立,满足以下条件：（D5）存在常数d6>0,α1>1,R3>0使得K（x）≤d6（1+（max{0,V（x）}）1/（α1））对所有|x|≥R3成立;（D6）存在常数d7>0,1<p<α*使得|f（x,s）|≤d7K（x）（1+|s|p）对所有（x,s）∈RN×R成立,其中当N≥3时α*=（N+2）/（N-2）-4/（α（N-2））.而当N=1,2时α*=+∞;（D7）当s→0时f（x,s）/K（x）=o（|s|）关于x一致成立.那么方程（0-2）至少有一个非平凡解.定理4.2假设V∈C1（RN,R）和f∈C（RN×R,R）满足（D1）-（D4）以及（D8）存在常数d8>0,1<p<α*使得|f（x,s）|≤d8（1+|s|p）对所有（x,s）∈RN×R成立,其中当N≥3时α*=（N+2）/（N-2）-4/（α（N-2））,当N=1,2时α*=+∞;（D9）当s→0时f（x,s）=o（|s|）关于x一致成立.那么方程（0-2）至少有一个非平凡解.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 引言
• 1.1 研究的问题及其背景
• 1.2 一些符号和定义
• 1.3 论文的结构安排
• 第2章 无（AR）条件的二阶Hamilton系统同宿轨解的存在性
• 2.1 主要结论
• 2.2 定理2.3和定理2.5的变分框架
• 2.3 定理2.3和2.5的证明
• 2.4 定理2.7的变分框架
• 2.5 预备定义及引理
• 2.6 定理2.7的证明
• 第3章 无强制条件的二阶Hamllton同宿轨解的多解性
• 3.1 主要结论
• 3.2 变分框架
• 3.3 预备引理
• 3.4 主要结论的证明
• 第4章 无（AR）条件的非周期薛定愕方程解的存在性
• 4.1 主要结论
• 4.2 变分框架
• 4.3 主要结论的证明
• 参考文献
• 第6章 致谢
• 第7章 攻读博士学位期间发表的学术论文