反应对流扩散方程的高维整体解及其应用

论文摘要

非线性抛物型方程理论是现代数学的重要组成部分.本论文主要研究高维空间非线性抛物型方程的整体解(entire solution),这里所谓的整体解是指一类对所有时间t∈R都有定义的解.从动力系统的角度来看,一般意义上抛物型方程初值问题的解仅仅是半轨道,利用半轨道(t≥0)不能判定解的全部信息,而整体解(t∈R)实际上就是方程的一个全流,利用整体解可以确切的把握任何时刻有关方程解的信息.这使得研究非线性抛物型方程的整体解变得必要且有重要意义.本文主要研究行波解的交错作用,具体就是利用方程的单调行波解来构造新型整体解.我们知道,关于整体解的已有结果都是在一维齐次空间(或固定方向)下对单稳和双稳型非线性方程建立的.考虑到来自物理、化学、生态等领域的许多课题都是高维空间问题,因此本文试图建立高维空间反应扩散方程整体解理论.特别,我们需要指出的是,当空间变量为一维情形(或固定方向)时,相应的波方程是一个二阶常微分方程,而当空间变量为高维时,如果考虑非线性抛物型方程的曲面行波解,则相应的波方程为椭圆型方程.在椭圆型方程理论框架下利用曲面行波解研究高维空间变量方程的整体解变得比较困难而且有意义.首先,我们研究了无穷柱体上单稳型和点火型反应对流扩散方程的整体解.对具有单稳型非线性项的方程,通过考虑两列沿柱体相向传播的行波解,并通过利用比较原理和上下解方法,建立了整体解的存在性.对于点火型非线性方程,利用方程唯一存在的沿柱体方向相向传播的行波解对,证明了方程整体解的存在性.并且证明了以上所有得到的整体解当时间t→—∞时表现为两列沿柱体方向相向传播的行波解,而且随着时间的推移,两列行波解在有限时间内相互碰撞并最终消失.其次,我们考虑了无穷柱体上双稳型反应对流扩散方程整体解的存在性.双稳型反应对流扩散方程一般具有三个平衡点,其中两个为线性化稳定的,一个为线性化不稳定的.其三个平衡点中的任意两个之间有行波解连接.通过考虑连接不同平衡点的不同行波解,建立了三种不同类型的整体解,并给出了它们的渐近行为.进一步,通过考虑一个定义在无穷柱体上的拟不变流形,我们证明了当双稳型非线性方程任意的非平凡整体解满足一定条件时,其整体解是唯一的,并证明了所得到的唯一整体解是Liapunov稳定的.最后,我们考虑了具有周期性介质单稳型空间各向异性方程的整体解.利用方程连接常数平衡态和周期函数形式平衡态的脉动行波解,证明了方程存在表现为两列相向传播的脉动行波解的脉动整体解,并且给出了在生物种群模型和化学反应模型中的应用.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
• §1.1 反应扩散方程的行波解
• §1.2 反应扩散方程行波解之间的交错作用及整体解
• §1.3 研究的主要问题与主要工具
• §1.3.1 研究的主要问题
• §1.3.2 利用的主要工具
• 第二章 无穷柱体上单稳和点火型方程整体解的存在性
• §2.1 主要定理和预备知识
• §2.2 整体解的存在性
• §2.3 应用举例
• 第三章 无穷柱体上双稳方程多种形式整体解的存在性
• §3.1 主要定理和预备知识
• §3.2 整体解的存在性
• §3.2.1 定理3.1的证明
• §3.2.2 定理3.2和3.4的证明
• §3.3 应用举例
• 第四章 无穷柱体上双稳方程整体解的唯一性和稳定性
• §4.1 主要定理和预备知识
• §4.2 上下解方法（存在性）
• §4.3 整体解的唯一性和Liapunov稳定性
• 第五章 周期介质中单稳方程整体解的存在性
• §5.1 主要定理和预备知识
• §5.2 主要结论的证明
• §5.3 应用举例
• 参考文献
• 研究展望
• 攻读博士学位学期间发表和完成论文目录
• 致谢