Julia集为Cantor集的有理函数的动力系统

论文摘要

在本篇博士论文中,作者系统研究了映射度不小于2,Julia集为Cantor集的有理函数,并得到了一系列结果。首先,给出了一类有完全不变Fatou域的有理函数Julia集为Cantor集的充要条件,这个结果也将Branner-Hubbard猜想推广到有理函数情形。其次,考察了有理函数Julia集上的不变线域,证明了有理函数的Cantor型Julia集上没有不变线域,并由此证明了这类有理函数的结构稳定性与双曲性是等价的。然后,解决了Julia集为Cantor集的有理函数的拟共形刚性问题,即拓扑共轭意味着拟共形共轭,并且证明过程可以说明有理函数的Cantor型Julia集都是动力系统可去的。接下来,研究了非双曲有理函数Cantor型Julia集上的共形测度,说明这类共形测度遍历分支的个数可以由Julia集上临界点与抛物不动点的个数控制。最后,利用拟共形手术及之前得到的结论,证明了任意Julia集为Cantor集的非双曲有理函数都可以被Julia集为Cantor集的双曲有理函数来逼近,这是一个与双曲性猜想有关的结果。以上完成的这些结果主要都是基于O.Kozlovski,沈维孝和S.van Strien对实多项武刚性的研究,以及邱维元教授和尹永成教授解决Branner-Hubbard猜想所得到的一系列结果。

论文目录

• 致谢
• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 引言及主要结果
• 1.1 常用符号及表示
• 1.2 论文简介
• 1.3 基本概念,研究背景及定理叙述
• 1.3.1 Branner-Hubbard猜想的推广
• 1.3.2 不变线域
• 1.3.3 拟共形刚性
• 1.3.4 共形测度的遍历性质
• 1.3.5 拟共形手术
• 第二章 有理函数动力系统及复分析基础知识
• 2.1 复动力系统的简介
• 2.2 有理函数的动力系统
• 2.2.1 有理函数及周期点
• 2.2.2 Montel正规族理论与Fatou-Julia理论
• 2.2.3 周期轨道的局部动力学性质
• 2.3 复分析预备知识
• 2.4 Riemann曲面
• 第三章 Branner-Hubbard拼图与KSS嵌套
• 3.1 Branner-Hubbard拼图
• 3.2 KSS嵌套
• 3.3 复界定理
• 第四章 Branner-Hubbard猜想的推广
• 4.1 定理叙述
• 4.2 定理1的证明
• 第五章 不变线域
• 5.1 定理叙述
• 5.2 偏差引理
• 5.3 拼图片的有界形状
• 5.4 定理2和定理3的证明
• 第六章 拟共形刚性
• 6.1 定理叙述
• 6.2 命题6.1的证明及拼图片的有界形状
• 6.3 准备性的引理
• 6.4 定理4的证明
• 第七章 共形测度的遍历性质
• 7.1 定理叙述
• 7.2 无穷小的覆盖及密度定理
• 7.3 定理6的证明
• 第八章 拟共形手术
• 8.1 定理叙述
• 8.2 准备性的引理
• 8.3 Branner-Hubbard拼图及拟共形手术
• 8.4 定理7的证明
• 第九章 附录
• 参考文献
• 简历
• 发表和录用的文章目录