一类神经网络模型的平衡点存在性及稳定性分析

论文摘要

近年来,由于Hopfield型神经网络在信号和图像传输方面有着广泛的应用,因此关于它的研究引起了广大数学工作者的关注。本论文简要介绍了神经网络的产生、发展以及微分系统的稳定性理论,更主要的分析了一类Hopfield神经网络的解的存在性、唯一性、全局指数稳定性、有限时间的收敛性问题。正文部分首先介绍了上半连续、Filippov意义下的解、平衡点、几种矩阵类、稳定性等一些基本概念,并列出了神经网络尚待解决的相关问题。其次,研究了一类Hopfield神经网络模型解的存在唯一性问题,先利用微分包含理论和拓扑度理论,结合矩阵分析理论证明了此类系统的平衡点的存在性和唯一性。这里对激励函数的限制条件比以往的结论所要求的条件更宽松,在关联矩阵是P类矩阵的前提下,放弃了激励函数必须是可微、有界、单调的要求,所适用的神经网络方程可以既不连续,也不有界,并且选择比单调函数类应用范围更加广泛的函数类,我们要求激励函数属于有界变差函数的子类,推广了已有文献中的相关结论。之后,主要针对此类Hopfield神经网络的稳定性问题进行了分析讨论。在这一部分中,在前面已经得到解的存在唯一性的前提下,通过构造Lyapunov函数分析了系统的全局指数稳定性(GES)。最后,进一步假设激励函数是全局Lipschitz连续的,我们扩充了文献通常出现对关联矩阵的限制条件,得到系统平衡点存在唯一的充分条件。并且,通过构造Lyapunov函数,结合矩阵不等式技巧,得到了系统的全局指数稳定性;另外,得到了一维神经网络系统在有限时间内收敛的必要条件。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 问题研究的背景及意义
• 1.1.1 神经网络的产生及其意义
• 1.1.2 人工神经网络
• 1.1.3 Hopfield神经网络
• 1.2 问题的研究进展
• 1.3 本文的研究
• 1.4 本章小结
• 第2章 预备知识
• 2.1 基本概念
• 2.2 研究此问题所需要的基本理论
• 2.2.1 集值映射理论
• 2.2.2 拓扑度理论
• 2.2.3 微分包含理论
• 2.3 本章小结
• 第3章 一类Hopfield神经网络模型的稳定性分析
• 3.1 平衡点的存在性和唯一性
• 3.2 平衡点的全局指数稳定性
• 3.3 本章小结
• 第4章 神经网络模型的进一步讨论
• 4.1 平衡点的存在性和唯一性
• 4.2 平衡点的全局指数稳定性
• 4.3 一维Hopfield神经网络有限时间收敛的必要条件
• 4.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢