几类非线性Schr（？）dinger型方程组的初边值问题

论文摘要

本文考虑了几类非线性Schr（?）dinger型方程组的初边值问题，在适当的条件下，我们证明了这些问题整体解的存在性。文献[3]中提出了形如的耦合的非线性Schr（?）dinger-Klein-Gordon方程，这是国际上首次开展这方面的研究工作，作者在R3中研究了它的Cauchy问题，获得了该问题整体解的存在、唯一性。文献[4、14]中研究了一类非线性Schr（?）dinger-Boussinesq型方程组，获得了一类具有磁场效应的这类方程组的初边值问题的整体适应性结果。文献[7]中Brezis-Gallouet在中研究了如下一类较一般的Schr（?）dinger方程的Cauchy问题：对它的解及其性质进行了详细探讨。Tsutsumi应用Galerkin方法扩充了他们的结果[10、11]。以上这些方程或方程组有很强的物理应用背景[6、7、8、9]，对它们进行深入研究是有意义的。在第二章，我们研究了一种新的模型：我们采用Galerkin方法，获得了如下定理：定理设（?）0（x），v0（x），v1（x）∈H01（Ω），Ω（?）R3且q＞0，β≥0，η≥0；或者设（?）0（x），v0（x），v1（x）∈H01（Ω），Ω（?）R2若下列条件之一满足（ⅰ）β≥0，η≥0，q，λ是实数，且（ⅱ）β≥0，η，q，λ是实数，且（ⅲ）β≥0，η≥0，q，λ是实数，且（ⅳ）β≥0，η≥0，q，λ是实数，且或者设（?）0（x），v0（x），v1（x）∈H01（Ω），Ω（?）R1，若下面条件之一成立（ⅰ）β≥0，η≥0，q，λ是实数，且（ⅱ）β≥0，η，q，λ是实数，且（ⅲ）β≥0，η≥0，q，λ是实数，且（ⅳ）β≥0，η≥0，q，λ是实数，且其中d（Ω）表示区间Ω的测度，则方程组（3）存在整体弱解（?）（t，x），v（t，x）满足在第三章，我们考虑了一类广泛的非线性Schr（?）dinger-Boussinesq型方程组的初边值问题：其中γ，λ是正常数，β是实数，（?）=（ε1，ε2，ε3）是三维未知复值向量函数，n（x，t），φ（x，t）是未知纯量实质函数，Ω∈R2具有光滑边界，q（s），f（s），α（x）是已知实函数。利用Galerkin方法、算子半群方法与紧致性原理，我们研究了这一问题整体弱解的存在性，获得如下结果：定理设（?）0（x），v0（x），v1（x）∈H01（Ω），Ω（?）R3且q＞0，β≥0，η≥0；或者设（?）0（x），v0（x），v1（x）∈H01（Ω），Ω（?）R2，若下列条件之一满足（ⅰ）β≥0，η≥0，q，λ是实数，且（ⅱ）β≥0，η，q，λ是实数，且（ⅲ）β＜0，η＜0，q，λ是实数，且（ⅳ）β＜0，η≥0，q，λ是实数，且或者设（?）0（x），v0（x），v1（x）∈H01（Ω），Ω（?）R1，若下面条件之一成立（ⅰ）β≥0，η≥0，q，λ是实数，且（ⅱ）β≥0，η，q，λ是实数，且（ⅲ）β＜0，η＞0，q，λ是实数，且（ⅳ）β＜0，η≥0，q，λ是实数，且其中d（Ω）表示区间Ω的测度，则方程组（4）存在整体弱解（?）（x，t），n（t，x），φ（t，x），且在第四章，我们考虑了下列较一般的具有磁场效应的非线性Schr（?）dinger方程组的初边值问题：其中Ω∈R2具有光滑边界，（?）=（u1，…，uN），f∈C2（R+N，R）满足：利用Galerkin方法、算子半群方法与紧致性原理，我们证明了问题（5）解的存在唯一性。获得如下结果：定理设条件（6）-（8）成立，且f（s1，…，sN）=F（s1+…+sN），（u）0k∈H2（Ω）∩H01（Ω），0≤p≤2，|a|∫Ω|（?）0|2dx＜2，则问题（5）存在唯一解（?）（x，t）满足我们的研究在一定程度上丰富了国内外关于Schr（?）dinger方程尤其是方程组的研究成果。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 一类广泛耦合Schr（¨|o）dinger-Klein-Gordon方程组
• §1 问题和记号
• §2 Galerkin方法和主要结果
• §3 引理及证明
• §4 主要结果的证明
• 第三章 一类广泛的非线性Schr（¨|o）dinger-Boussinesq方程组的初边值问题
• §1 问题和Galerkin方法
• §2 引理及证明
• §3 主要结果
• 第四章 一类具有磁场效应的非线性Schr（¨|o）dinger方程组的初边值问题
• §1 问题的提出
• §2 引理及证明
• §3 定理及证明
• 参考文献
• 致谢