一类粘性双组份浅水波方程的整体吸引子

论文摘要

本文我们主要考虑在周期边界条件下带粘性项的双组份Camassa-Holm方程、粘性耦合Camassa-Holm方程及耦合非齐次Camassa-Holm方程的整体解、吸收集和吸引子存在性问题.本文主要采用Galerkin方法,所讨论的方程均含有两个变量.在考虑解半群的吸引子存在性的过程中,我们要同时对这两个变量进行考察.需要使用索伯列夫空间理论、偏微分方程相关知识、Fourier限制范数和算子、双线性估计、能量方程与正交分解相结合等相关理论、方法和技巧.全文分五个部分：第一章介绍研究背景、现状及本文主要工作.第二章介绍了研究过程中需要的基本理论、基本概念等.第三章首先运用Galerkin方法得到了粘性双组份Camassa-Holm方程的唯一整体解存在于L2（R）中；接着利用Sobolev插值不等式以及关于时间t的先验估计证明了该方程在H2（R）空间上吸收集的存在性；然后证明方程的解半群S（t）是一个紧算子；最后得到了双组份Camassa-Holm方程整体吸引子的存在性.第四、五章分别研究了粘性耦合Camassa-Holm方程、耦合非齐次Camassa-Holm方程的吸引子的存在性.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 研究背景、现状及意义
• 1.1.1 整体吸引子研究背景、现状及意义
• 1.1.2 双组份Camassa-Holm方程的研究背景、现状及意义
• 1.2 本文的主要工作及其研究意义
• 第2章 基本概念和研究方法
• 2.1 整体吸引子的有关定义和概念
• 2.2 常用不等式
• 2.3 一些基本理论及性质
• 2.4 整体吸引子研究的常用方法
• 第3章 粘性双组份Camassa-Holm方程的整体吸引子
• 3.1 函数空间和主要结果
• 3.1.1 函数空间和符号表示
• 3.1.2 方程的变形
• 3.1.3 主要定理
• 3.2 整体解的存在性
• 2中有界性证明'>3.2.1 局部解在L²中有界性证明
• m|、|▽Au_m|、|A²u_m|、‖ρ_m‖、|Aρ_m|及|▽Aρ_m|的有界性证明'>3.2.2 |Au_m|、|▽Au_m|、|A²u_m|、‖ρ_m‖、|Aρ_m|及|▽Aρ_m|的有界性证明
• 3.2.3 方程整体解存在性证明
• 3.3 解半群吸收集的存在性
• 2及H¹中有界性证明'>3.3.1 解半群在L²及H¹中有界性证明
• 2（Ω）中吸收集存在性证明'>3.3.2 解半群在H²（Ω）中吸收集存在性证明
• 3.4 整体吸引子的存在性
• 3.5 本章总结
• 第4章 粘性耦合Camassa-Holm方程的吸引子
• 4.1 函数空间和定理
• 4.1.1 方程的变形
• 4.1.2 主要定理
• 4.2 整体解的存在性
• m,v_m在L²中的有界性'>4.2.1 逼近法证明u_m,v_m在L²中的有界性
• m|,|▽Au_m|,|A²u_m|,|Av_m|,|▽Av_m|,|A²v_m|有界性证明'>4.2.2 |Au_m|,|▽Au_m|,|A²u_m|,|Av_m|,|▽Av_m|,|A²v_m|有界性证明
• 4.2.3 方程整体解存在性证明
• 4.3 解半群吸收集的存在性
• 2及H¹中有界性证明'>4.3.1 解半群在L²及H¹中有界性证明
• 2（Ω）中吸收集存在性证明'>4.3.2 解半群在H²（Ω）中吸收集存在性证明
• 4.4 整体吸引子的存在性
• 4.5 本章总结
• 第5章 耦合非齐次Camassa-Holm方程的吸引子
• 5.1 先验估计
• 5.2 整体吸引子的存在性
• 5.3 本章总结
• 第6章 总结与展望
• 致谢
• 参考文献
• 读研期间发表的论文