论文摘要
自从牛顿和莱布尼兹创立了微积分,人们就开始运用微分方程来描述客观世界的发展系统。而分支问题是动力系统和非线性微分方程中一个最重要的研究课题之一,其研究对象往往是那些结构不稳定系统,研究当参数发生变化并经过某些临界值时系统的某些拓扑结构发生改变的现象。分支问题包括局部分支、半局部分支和全局分支。Hopf分支属于局部分支,研究的是当参数变化时,系统平衡点的稳定性发生改变,从而在平衡点附近产生小振幅震荡周期解的现象。时滞微分方程是具有时间滞后的微分方程,它用于描述既依赖于当前状态也依赖于过去状态的发展系统。由于充分考虑了历史对当前状态的影响,它在生态、物理、化学、工程、信息、经济及生命科学等诸多领域都有着重要且广泛的应用。对时滞微分方程分支问题的研究既要用到经典的动力系统和微分方程理论,又要用到泛函、代数、拓扑等相关知识,所以对其进行系统而深入的研究不但有着强烈的实际背景而且还有重大的理论意义。本文的工作涉及几类含有时滞的发展系统的分支问题,主要理论框架叙述如下:以时滞τ作为参数,研究当它由零逐渐增大时,能使系统平衡点“失稳”的前提条件。主要途径是通过对系统在平衡点处的线性化系统特征方程的特征根分布状况的研究,运用的是魏俊杰和阮士贵总结出的成熟的且被广泛应用了的理论方法。关于分支方向和分支周期解的计算问题,主要是以B. D.Hassard和N. D. Kazarinoff等人所建立的抽象微分方程的中心流形理论为基础,先把所研究的滞后型FDE投影到中心流形上,然后利用规范型理论获得关于分支方向,分支周期解的稳定性、振幅、周期及其在中心流形上投影的表达式的计算公式。魏俊杰和阮士贵在上述Kazarinoff等计算Hopf分支性质的基础上,概括出切实可行的计算有界滞量泛函微分方程Hopf分支性质的公式,对所研究的系统只要把与其相关的已知量代入公式,就可得到关于Hopf分支性质的足够信息。但是,当τ继续增大且距离第一个分支值τ0渐远时,分支周期解是否能保持下去?也就是所谓的全局Hopf分支周期解是否存在?我们以M. Li等人的高维Bendixson准则和吴建宏的全局周期解存在性定理为理论指导,运用魏俊杰和M. Li总结出来的方法,明确给出了当系统参数逐渐增大经过各个临界值时,存在全局Hopf分支周期解的充分性条件,并且确定了可能存在的全局分支周期解个数的下限。1988年,M. Golubitsky等人在专著《Singularities and groups in bifurcationtheory》中,以等变的分支理论做基础,揭示了由完全相同单元体构成的环能产生一些奇异而有趣的振动。吴建宏等人把这种等变的Hopf分支理论推广到时滞微分方程,对解决非单重纯虚特征根的情形给出了切实可行的方法。他们的工作是研究这种结构的神经网络模型的理论基石。以上述理论作为指导,本文的主要工作如下:1.首先从分支的角度研究了由Mackey和Glass提出的著名生理模型。给出了当时滞τ增加时,系统的唯一正平衡点附近能经历Hopf分支的条件;接着,利用B. D. Hassard和N. D. Kazarinoff等人所创立的理论以及魏俊杰和阮士贵所使用的方法,获得了关于分支方向,分支周期解的稳定性、振幅、周期等的计算公式;最后给出了系统存在全局分支周期解的条件。2.研究了一个带有时滞的三神经元神经网络系统的Hopf分支问题。运用分析平衡点处特征方程特征根的办法,给出了系统零平衡点的稳定性以及能产生Hopf分支的条件;其次,利用中心流形理论和规范型方法讨论了计算Hopf分支方向和分支周期解的稳定性的公式;而后对全局Hopf分支周期解存在性的问题也做了透彻的分析。最后,对若干个实例进行了数值仿真,其结果验证了理论分析结果的正确性。3.研究了含时滞的由n个神经元组成的具有对称结构的环状神经网络系统的Hopf分支问题。首先给出了当神经元的个数分别为奇数、偶数而非4的倍数以及为4的倍数这三种情况下零平衡点处线性化系统特征方程的具体表达形式;然后,分别在上述三种情况下对条件稳定区域进行了详尽的划分,进而充分地研究了系统在零平衡点附近可出现Hopf分支和等变Hopf分支的条件;接着在M. Golubitsky和吴建宏等人的理论指导下,以李群和Faria的规范形理论作为工具,给出了系统会产生2（n + 1）个三种不同结构的非同步周期解的区域。而且,在第2、3、4节的附录中,依据Faria等人的理论,我们分别给出了得到这种具有对称结构的神经网络模型在其平衡点的中心流形上的规范形的详细计算过程。