图论与拓扑、图论与代数交叉问题的案例研究

论文摘要

在数学科学内部,不同学科分支之间思想和方法相互交叉、彼此渗透是数学科学发展的一大重要趋势;本文围绕这一中心思想,选取图论与拓扑、图论与代数的交叉问题作为主要案例,尝试以一些典型问题作个案分析,从历史发展观的角度,对每个问题采用时序分析,遵循思想演绎规律,探讨了这种交叉融合发展到一定程度将导致重大发现,甚至交叉学科的产生;指出交叉问题的历史研究对阐明数学的发展规律有特殊意义;同时笔者认为,这种通过数学内部的因素——交叉问题来分析数学学科发展的动力,是数学史研究中的一个新的分析方向。在具体内容上,全文共分四部分,其中第一部分从多面体公式到欧拉-庞加莱示性数,考察了这一过程是怎样超越了度量观念,又是如何朝向拓扑发展的;第二部分介绍从Guthrie问题到Hadwiger猜想的思想演变,考察了染色问题的两条发展路线;一方面由于曲面拓扑特征的考虑,从而导致着色数理论的形成,对拓扑图论的发展起着重要的里程碑意义;另一方面剖析了Wagner定理引发Hadwiger提出著名猜想的关键性因素,首次指出“缩图”（Graph Minor）的引入开拓了研究染色问题的新视角,从而使染色问题得到进一步区分和一般化。这两部分均属于图论与拓扑交叉问题的范例;第三部分介绍回路的代数化思想,阐述了在回路基础集构造方面,代数工具和代数方法不断深入的过程,以及这个过程如何促使惠特尼最早引入了拟阵（1935年）。第四部分从最简单的图——树及其早期计数开始描述,直到波利亚计数定理的提出,这是一个与置换群的思想相联系的理论,为进一步研究其所蕴含的交叉思想给出了一个良好开端!回路的代数化、树的计数理论的发展是关于图论与代数的两个经典问题。从整体上看,这四部分合起来论述了数学科学内部学科的交叉渗透的演化趋势,同时考察这些交叉问题的历史背景和发展过程也是体现数学统一性的一个重要方面,对深刻理解现代数学交叉渗透的趋势是很有价值的。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 引言
• 1. 从多面体公式到欧拉-庞加莱示性数
• 1.1 欧拉发现多面体公式——超越度量观念
• 1.2 欧拉多面体公式和可平面图
• 1.3 欧拉公式遇到有“洞”多面体
• 1.4 朝向拓扑的发展——欧拉-庞加莱示性数
• 2. 从GUTHRIE 染色问题到HADWIGER 猜想
• 2.1 Guthrie 问题与两次计算机证明
• 2.1.1 问题的起因
• 2.1.2 第一次计算机证明（1976 年）
• 2.1.3 第二次计算机证明(1994 年—Seymour 于国际数学家大会上的1 小时报告
• 2.2 缩图（graph minor）和Hadwiger 猜想
• 2.2.1 可平面性和Kuratowski 定理
• 2.2.2 缩图（graph minor）和瓦格纳猜想
• 2.2.3 Hadwiger 猜想的提出
• 2.3 Hadwiger 猜想的研究现状
• 2.3.1 研究现状
• 2.3.2 结语
• 3. 回路的代数化
• 3.1 基尔霍夫发现电网回路中的基础集
• 3.2 庞加莱和维布伦关于回路基础集的代数观
• 3.3 惠特尼的继承与突破
• 3.4 新数学对象——拟阵的出现
• 4. 树的计数理论的发展
• 4.1 概述
• 4.2 树的出现及其计数的开始
• 4.3 若尔当关于树的奠基工作
• 4.4 树的计数理论——从凯莱到波利亚
• 4.5 波利亚计数的置换群理论初探
• 结束语
• 参考文献
• 致谢