大维随机矩阵谱分布的极限理论研究及其应用

论文摘要

大维随机矩阵是概率统计领域的一个重要研究课题，近年来，随着计算机的发展和信息爆炸，在许多学科中都面临高维（上百或成千上万）和海量数据的处理问题。因此大维随机矩阵的研究受到越来越多的关注。它在许多学科中都有广泛的应用，例如理论物理，通信，金融等。大维随机矩阵研究的发展与这些学科一直互相影响着。本文的研究工作主要集中在大维样本协方差矩阵谱分布的理论研究及其在多元统计分析中的应用。 本文第一章简要地介绍了随机矩阵的背景和研究现状，以及常见的随机矩阵。例如Wigner矩阵，样本协方差矩阵等，随机矩阵的一个重要研究内容为经验谱分布函数，其定义为 FA（x）=1/n sum from j=1 to n(I（λj≤x），其中λ1，…，λn为随机矩阵A的特征根。对于谱分布的研究有两个重要的方面我们将要讨论：一个是极限谱分布的显示表达（第二章），另一个是谱分布的收敛速度（第三章和第四章），进而，我们应用第二章的结果处理大维因子模型（第五章）。 在第二章中，设Sn=1/nXnXn*为样本协方差矩阵，Tn是一列与Xn独立的Hermitian矩阵，我们证明了SnTn的极限谱分布存在。特别，如果Hermitian矩阵是Wigner矩阵Wn，则我们得到了SnWn极限谱分布密度函数的显示表达式。 接下来，我们讨论了谱分布的收敛速度，在第三章中，在有限八阶矩条件下，我们提高了p×n维大维样本协方差矩阵谱分布收敛到Marcenko-Pastur分布的速度，特别，如果维数样本比率y=yn=p／n接近1，p×n维大维样本协方差矩阵谱分布的期望收敛到极限分布的速度，我们改进为O(n-1/6)。相似在y接近1的条件下，依概率收敛和几乎处处收敛速度为Op(n-1/6)和Oa.s.(n-1/6)。 在第四章中，大维样本协方差矩阵谱分布的期望收敛速度被建立。进而，我们也得出了其依概率收敛速度和几乎处处收敛速度。 最后在第五章中，我们发展了一个简单实用的估计大维因子模型的因子个数方法。特别当误差是线性时间序列模型时，我们给出了其参数的估计，另外我们也给出了这些估计量的理论性质。最后的模拟结果和实证分析显示我们的方法是有意义和有效的。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 1.1 为什么我们要研究随机矩阵
• 1.2 大维随机矩阵谱分布的一些基本结果和研究现状
• 1.3 大维随机矩阵的研究方法
• 1.4 本文的主要工作
• 第二章 乘积矩阵的谱分布的极限定理
• 2.1 介绍
• 2.2 图论与组合的一些结果
• n的谱'>2.3 简化矩阵T_n的谱
• 2.4 X变量截尾
• 2.5 证明定理2.1.1
• 2.6 证明定理2.1.2
• 第三章 大维样本协方差收敛速度
• 3.1 介绍
• 3.2 定义和一些结果
• 3.3 证明主要结果
• 第四章 样本相关系数矩阵的收敛速度
• 4.1 引言
• 4.2 定义和一些基本结果
• 4.3 截尾和中心化
• 4.4 证明主要结果
• 第五章 在因子分析中的应用
• 5.1 引言
• 5.2 因子个数估计
• 5.3 残差是时间序列时对参数的估计
• 5.4 Monte Carlo模拟和实证分析
• 5.4.1 Monte Carlo模拟
• 5.4.2 实证分析
• 5.5 附录
• 参考文献
• 致谢
• 博士期间发表或者完成的论文