跳扩散随机微分方程的数值解及其应用

论文摘要

本文主要研究跳扩散随机微分方程数值解的性质、数值模拟方法以及在金融计算上的应用。全文共分三部分,主要内容如下。第一章,主要介绍与本项研究有关的数学基础知识,如:跳扩散随机微分方程的Ito公式,随机微分方程数值解的强收敛和弱收敛的定义,随机Taylor展开式,跳扩散随机微分方程,几种常用的跳扩散随机微分方程的数值模拟计算方法。第二章,首先证明了跳扩散随机微分方程应用Euler-Maluyama方法的数值解具有至少1/2阶强收敛性。虽然证明是在一致Lipschitz条件假设下完成的,但是若对初值加以限制,可以沿用本章中的证明思路把结果推广到局部Lipschitz条件。此外,本章把倒向Euler分步方法推广到多维空间情形,推广的分步方法可以简化数值计算。第三章,首先介绍了强Taylor设计和跳适应设计。鉴于数值模拟的需要,本章推导了多个随机Taylor展开式,包括1阶强Taylor展开式,Milstein-Maghsoodi跳适应展开式等。然后通过对一类资产定价的跳扩散模型的数值模拟计算,具体比较了几种数值计算方法的优劣。最后,讨论了债券期望收益的计算问题,并介绍了如何利用Monte Carlo方法在这类问题上进行计算。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 1.1 随机微分方程
• 1.2 Ito公式
• 1.3 随机微分方程数值解的强收敛和弱收敛
• 1.3.1 强收敛
• 1.3.2 弱收敛
• 1.4 随机Taylor展开式
• 1.5 跳扩散随机微分方程
• 1.6 跳扩散随机微分方程的数值模拟方法
• 1.6.1 Euler方法
• 1.6.2 倒向Euler方法
• 1.6.3 Theta方法
• 1.6.4 倒向Euler分步方法
• 1.6.5 补偿倒向Euler分步方法
• 第二章 收敛性分析与分步方法
• 2.1 Euler方法的收敛性分析
• 2.2 倒向Euler分步方法的推广
• 2.2.1 跳扩散随机微分方程的分步方法
• 2.2.2 倒向Euler分步方法的推广
• 第三章 跳扩散随机微分方程的随机Taylor展开及数值模拟
• 3.1 强设计
• 3.1.1 强Taylor设计
• 3.1.2 强跳适应设计
• 3.2 资产定价的跳扩散模型
• 3.2.1 几何布朗运动模型
• 3.2.2 利率为跳扩散随机微分方程的定价模型
• 3.2.3 数值模拟
• 3.3 债券
• 参考文献
• 附录
• 致谢