论文摘要
有限差分算法是计算数学中解各类偏微分方程的最重要的常用方法之一,以其直观、公式和计算程序简单、网格划分简单和准备数据省时等优点成为计算机模拟最早采用的方法。虽然为了解决不规则边界问题而产生了更加有效的有限单元法以及有限体积法等,有限差分这一经典算法仍然发挥着巨大作用。研究者们未曾停止对其进行完善的工作。本课题对任意边界下的有限差分算法进行了研究并建立了一种不规则边界下的有限差分算法,重点在于不规则边界处虚网格点的表达方式,采用建立插值多项式并结合边界条件的方法确定虚网格点的表达式,并代入现有的差分方程中求解。新的插值多项式的建立保证了邻近边界的内部网格点的二阶偏导数以及混合偏导数的差分格式具有二阶精度,此法可以继续推广至更高阶精度差分方程的建立。在发展出有效的差分计算方法的基础上,结合王旭跃与清华大学冯西桥近两年基于奇异性理论发展出的高效耦合算法形成一个材料破坏分析软件,用于断裂现象、尤其是小尺度破坏构型的处理。工作重点先集中在破坏试验试件的韧度测量方面。计算结果表明有限差分耦合方法的结果与有限元耦合方法的结果呈现出很好的一致。这表明有限差分算法不仅在计算效率上具有优越性,在裂纹尺寸小于构件尺寸的一半时,也具有很好的精度。主要内容为:首先研究解椭圆型微分方程的在二类边界条件下的有限差分算法,尤其是对边界的处理方法。建立一种不规则边界下满足Neumann边界条件的具有二阶精度的有限差分算法,并且在此基础上建立一种具有二阶精度的混合偏导数的差分格式。其次将规则边界下的有限差分算法应用于断裂力学中,针对含有一个中心裂纹的矩形板,求解标准算例中裂纹尖端的无量纲应力强度因子,并与手册对照比较相对误差,证明有限差分算法在断裂力学中的应用的有效性与精确性。最后将建立的不规则边界下的有限差分算法应用于断裂力学中,针对含有一个偏心裂纹的梯形板,求解裂纹尖端的无量纲应力强度因子,并与刘东滢论文中应用有限元耦合方法计算所得的裂纹尖端的无量纲应力强度因子对照比较相对误差,证明所建立的不规则边界下有限差分算法的精确性以及在断裂力学中的应用的有效性与精确性。