基于状态空间架构的微分求积法及其应用

论文摘要

当应用于弹性力学问题时,传统的状态空间法（SSM）只能处理简支或滑支边界,为了推广SSM的应用范围,本文将微分求积法（DQM）引入到状态空间架构,提出了状态空间—微分求积（SS-DQM）这一新型半解析方法。首先从弹性力学基本方程出发,推导得到关于传递方向的状态方程。其次引进DQM将垂直于传递方向的区域进行离散,从而把状态方程的系数矩阵中关于该区域独立坐标的偏微分近似成函数值代数和的形式,于是得到了各个离散点上的状态方程。在边界点上采用状态变量直接描述边界条件,不需要利用圣维南原理,从而实现对边界附近物理场更精确的描述。将SS-DQM应用于弹性地基梁、复合材料层合梁以及对边简支层合板的静力和自由振动分析,大量数值算例和结果比较表明,SS-DQM收敛快、精度高。 采用传统的基于状态空间的传递矩阵法（CTMM）计算高频,或分析传递区域/离散区域较大的问题,或当DQM离散点数目较多时,常常会遇到数值计算不稳定现象。基于指数矩阵函数行列式的一般特点,从理论上分析这类数值计算不稳定出现的本质原因。引入虚拟节点减小子结构的传递间距,根据节点处的平衡方程和位移相容条件建立耦合矩阵,并将其结合CTMM建立结构的整体分析（TM-JCM法）,从而有效地避免了这一数值计算困难。 将SS-DQM应用于多维区域的离散,给出了周边任意支承的层合矩形板静力弯曲和自由振动的半解析解。在厚度方向采用SSM精确求解,避免位移解法中三个方向的DQM离散,大大减小了离散点数目,简化了计算公式,提高了计算效率和计算精度。 给出了功能梯度梁的SS-DQM半解析解。针对FGM物性参数沿厚度方向连续变化的特性,采用指数分布层合模型,即将FGM划分成若干层,每层内物性参数的分布用指数函数近似,从而保证了划分界面处物性参数的连续性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 符号
• 第1章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 状态空间法
• 1.2.1 简化理论
• 1.2.2 弹性理论
• 1.2.3 半解析形式的SSM
• 1.3 微分求积技术
• 1.3.1 权重系数
• 1.3.2 离散点形式
• 1.3.3 DQM在结构分析中的应用
• 1.4 本文的工作
• 第2章 复合材料层合梁的二维弹性力学SS-DQM解
• 2.1 引言
• 2.2 正交各向异性弹性体的状态空间列式
• 2.2.1 弹性力学基本方程
• 2.2.2 状态方程的精确形式
• 2.2.3 DQM的运用及端部支承条件
• 2.3 状态方程的解及控制方程
• 2.3.1 状态方程的解
• 2.3.2 控制方程
• 2.4 收敛性及有效性分析
• 2.4.1 SS梁的精确解
• 2.4.2 自由振动
• 2.4.3 静力弯曲
• 2.4.4 关于边界条件处理的说明
• 2.5 弹性地基梁的静力弯曲和自由振动
• 2.5.1 控制方程
• 2.5.2 数值算例
• 2.6 正交铺设层合梁的静力弯曲和自由振动
• 2.6.1 夹芯梁的自由振动及参数影响分析
• 2.6.2 正交各向异性层合梁
• 2.7 斜交铺设层合梁的静力弯曲和自由振动
• 2.7.1 弹性常数
• 2.7.2 数值算例
• 2.8 小结
• 附：系数矩阵A的表达式
• 第3章 对边简支层合板的三维弹性力学SS-DQM解
• 3.1 引言
• 3.2 对边简支板的状态空间列式
• 3.2.1 弹性力学基本方程
• 3.2.2 状态方程
• 3.2.3 DQM的运用及边界条件
• 3.2.4 控制方程
• 3.3 数值算例
• 3.3.1 收敛性和有效性验证
• 3.3.2 参数影响分析
• 3.4 小结
• （k）的表达式'>附件：系数矩阵A^（k）的表达式
• 第4章 基于状态空间列式传递矩阵法的数值稳定性分析
• 4.1 引言
• 4.2 传递矩阵法数值计算的不稳定现象
• 4.3 指数矩阵行列式的一般特点
• 4.4 解决办法和节点耦合矩阵
• 4.5 算例验证
• 4.5.1 理论分析
• 4.5.2 数值验证
• 4.6 小结
• 附录：TM-JCM法中频率方程的另一种形式
• 第5章 复合材料层合板的三维弹性力学双向SS-DQM解
• 5.1 引言
• 5.2 正交铺设层合板的SS-DQM解法
• 5.2.1 状态方程及其解
• 5.2.2 JCMs及整体分析
• 5.3 正交铺设层合板数值算例
• 5.3.1 静力弯曲
• 5.3.2 自由振动
• 5.4 斜交铺设层合板的静力弯曲和自由振动
• 5.4.1 DQM离散的状态方程
• 5.4.2 数值算例
• 5.5 小结
• 附录：各种边界条件板的状态方程表达式
• 第6章 功能梯度梁的弹性力学SS-DQM解
• 6.1 引言
• 6.2 FGM梁的状态方程及其解
• 6.2.1 状态方程
• 6.2.2 近似层合模型
• 6.3 整体分析
• 6.3.1 CTMM解法
• 6.3.2 TM-JCM解法
• 6.4 数值算例
• 6.4.1 近似层合模型对物性参数的描述精度
• 6.4.2 有效性和收敛性验证
• 6.4.3 FGM梁的响应分析
• 6.5 小结
• 附录：系数矩阵B的表达式
• 第7章 多跨连续Kirchhoff板自由振动的SS-DQM解
• 7.1 引言
• 7.2 Kirchhoff板理论的状态空间列式
• 7.2.1 基本方程
• 7.2.2 状态空间列式
• 7.2.3 对边简支板的精确解
• 7.2.4 DQM应用及状态方程的解
• 7.3 连续板的TM-JCM解法
• 7.4 数值算例
• 7.4.1 有效性分析
• 7.4.2 桥面板结构的自由振动
• 7.4.3 参数影响分析
• 7.5 小结
• 附录：系数矩阵A（Ω）的表达式
• 第8章 薄壁结构的折板理论分析
• 8.1 引言
• 8.2 承受面内荷载的薄板小挠度弯曲
• 8.2.1 薄板弯曲
• 8.2.2 平面应力问题
• 8.3 整体分析
• 8.3.1 结点平衡条件和位移相容条件
• 8.3.2 控制方程
• 8.4 数值算例
• 8.5 小结
• 第9章 非连续边界薄板弯曲及平面梁问题的SS-DQM解
• 9.1 引言
• 9.2 混合边界问题的分段（层）处理
• 9.2.1 非连续边界的薄板
• 9.2.2 非连续边界的平面梁
• 9.3 数值算例
• 9.3.1 Kirchhoff板的自由振动
• 9.3.2 均匀各向同性平面梁的自由振动
• 9.4 小结
• 第10章 总结和展望
• 10.1 全文总结
• 10.2 工作展望
• 参考文献
• 附录A：DQM的基本要素
• 附录B：二分法的Matlab程序源代码
• 附录C：作者攻读博士学位期间的论文清单
• 致谢