文海燕（四川省青川中学校四川青川628100）
中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN0257-2826（2018）02-0146-02
“学好数理化，走遍天下都不怕。”这一句有关于学好数学的谚语几乎是每一个与数学打过交道的人都知道的，也充分地说明了学习数学的必要性和重要性。数学与我们的日常生活都脱离不了一定的关系，更是我们学好其他科学的有力支撑性学科。我作为一名高中数学教师，从事高中数学教学以来，让我清晰的认识到了数学对于学生学好其他学科的基础性作用和对于提高学生的思维能力具有不可替代的作用；同时也认识到习题的有效讲练是高中数学教学不可或缺的一个环节，甚至是教好高中数学的重中之重，当然了也是数学教师教书育人的有力杠杆。那么，教学中如何有效进行习题讲练呢？
一、精讲精练，有的放矢培养学生创新能力
高中数学教学中数学习题是教师和学生都无法回避的问题，一定程度上可以说，做好了习题就等于学好了数学。高中数学的能力测试和测验主要通过数学习题的解答途径来实现。一个不会做做数学习题的教师和学生都是谈不上与数学有缘的人，数学原理需要一道道数学习题来进行具体的验证，数学习题就好比数学这座数学大厦的一块砖。作为一名高中数学教师最大程度地利用数学习题对学生进行教学是他的分内要求，也是体现他教学水平高低和展现他教学艺术的平台。
而高中数学习题浩如烟海，如何从“题海”中解放出来，重要的一条就是挖掘例习题的潜在内容，引导学生向更广的范围，更深层次去联想，纵横引伸，把所学知识去更大范围内进行归纳、演变，促进知识融会贯通，解题能力和思维能力得到提高，解题方法和策略形成。其方法有：变式练习、一题多解、改变成开放题、探索题等。
例如，已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程。
不少教师认为该题太简单，只需设抛物线方程为，再将点代入即可，因而一带而过，甚至视而不见。其实在教学中若能积极加以引导，合理变式，学生将有很大的收获。教师可以带领学生继续深入研究本题，给出变式练习。
【深入】变式1：如何改变上述问题中的条件，使得其解法分别是设抛物线的标准方程为、、。
此问题并不难，但能激发学生观察、对比、分析和概括，让学生也参与到变式教学的问题设计当中来。
【拓展】变式2：已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．有了上面的铺垫，学生应能想到用分类讨论手段解决。
【变化】变式3：已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程。此时学生仍可利用分类讨论解决，但在教师的引导下，通过对照结果以及变式1中的情况，还是有可能概括出此时抛物线的方程可设为，以避免分类讨论。
到此时学生完全可以自己类比出变式4及其解决方法：
【延伸】变式4：已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．解法是可设抛物线的方程为。这样学生通过自己分析、概括，参与问题设计，使得对抛物线标准方程的理解将更透彻、更深入。
通过一题多变的练习和阶梯式的设问，不仅分散了难点，更使学生将所学的知识融会贯通，学习兴趣高涨。便于提高学生思维的灵活性和创新性，培养学生思维的多样性与广阔性，从而发展学生勇于探索勇于创新的发散思维能力。
二、合理充分地安排讲练的时间，让学生思维产生质的飞跃
高中数学教师在教学中也要讲求效率和时间分配的问题，这关系着他能不能教好数学的关键问题。要用最短习题讲练培养出最有效率解题能力的学生，这是数学习题讲练的着眼点；要把自己的讲解习题的时间和学生自己练习习题的时间合理划分清楚，这是遵循数学习题讲练规律的必然要求。只注重自己讲而不给学生时间练习的教师是不可取的，所以教师要引导学生真正搞懂解题依据是什么知识，用的是什么方法，是怎样形成解题过程的。
例如，在完成课本例题：已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程的解答后，为激活学生思维，寻求新的解法，可提示、点拨，由平面几何知识中的勾股定理，以及使用向量知识，对问题进行解决。在学生思维活跃时，改变题目条件，创设变式，拓展学生的思维空间。
【变式1】若圆的方程变为，求经过圆上一点的切线方程。
【变式2】若圆的方程变为，求经过圆外一点的切线方程。
【变式3】已知为圆内异于圆心的一点，判断直线与圆的位置关系。
【变式4】已知为圆外的一点，过作圆的切线，求切线方程。
上述变式问题多且有层次性，入手相对较易，坡度适中、排列有序，形成有层次结构的开放系统，学生思维与创造的空间较大，不仅使学生产生“有梯可上，步步登高”的成功感，而且体现了一些重要的数学思想方法。这样设计既不脱离教材，又不拘泥于教材，随着教学层次的展开，不失时机地引导学生由浅入深的探讨，将学生思维的交点引向知识的深入，学生在练习过程中，通过观察、比较、分析、综合，从感性认识逐步上升到理性认识，使思维产生了质的飞跃。
三、标新立异、另辟蹊径，培养学生的发散思维能力
课本中的解法是科学正确的，但并非只有一种。教师要引导学生标新立异，鼓励学生不迷信书本，积极思考，敢于探索，敢于创新，可以激发学生积极思考，创新热情，如果学生有了自己新的问题思路，他会为自己的伟大发现而兴奋不已，产生对数学学习极大热情和愉快成功的体验。
例如，讲授椭圆的概念时，先让学生用事先准备的两个小图钉和一长度为定长的细线，将细线的两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，画出了一个椭圆。然后提出问题思考讨论：
(1)椭圆上的点有何特征？
(2)当细线的长等于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？
(3)当细线的长小于两定点之间的距离时，其轨迹是什么?
(4)你能给椭圆下一个定义吗？最后教师再揭示本质，给出定义。
这样，学生经过了感性认识——分析思考后，对椭圆定义的实质就会掌握得很好，不会出现忽略椭圆定义中的定长应大于两定点之间的距离的错误。
又如，讲“曲面上两点间的最短距离时，设计如下练习：
(1)在长方体中，,，，位于点处的蜘蛛沿长方体的表面爬行去攻击点处的苍蝇，问蜘蛛的最短行程是多少？
(2)是底面半径是1厘米，高为4厘米的圆柱的一条母线，一只蚂蚁从点绕侧面一周爬到点，求爬过的最短距离。
(3)是底面半径为2厘米，高为3厘米的圆锥的一条母线，一只蚂蚁从点A绕侧面一周爬到点，求爬过的最短距离。
两点之间线段最短，但蜘蛛、蚂蚁只能沿表面爬行。用可折叠的矩形纸板翻折演示，通过计算比较，学生不难发现最短途径。再追问：圆柱、圆锥侧面上两点的最短距离又如何计算？继续演示，将圆柱、圆锥的侧面沿一条母线剪开、铺平，此时学生的思路豁然开朗。最后归纳：可展曲面上两点间的最短距离，展开后即为所得平面图形上两点间的距离。这是将立几问题转化为平几问题的一种重要方法。
在新知建构和解决问题的过程中，一题多解表现为从不同角度进行分析、思考，由此产生不同的方法。因此通过一题多解我们不仅促进学生智慧的生成、思维的发展，使学生在思考问题时能想得全，不重复，不遗漏，有规律，也使学生解决问题的策略多，方法灵活，同时还尊重了学生个体差异。
总之，在教学中教师要利用数学学科的特点，根据教学内容，紧扣教学目标设计好课堂练习，加强设计“精品”习题的意识，以少胜多，以质为上。在知识和难易程度适宜的基础上设计有一定的“坡度”、“难度”、“密度”的习题，练习时注意加大知识间的“跨度”，变换形式间的“角度”，让课堂练习不断成为学生学习数学兴趣的直接发源地。让学生身处“做题初，趣已生；做题时，趣愈浓；做题终，趣不尽”的学习情趣中，那么我们的课堂练习设计就是有效的。