论文摘要
偏微分方程和差分方程振动性理论是微分方程理论中的两个十分重要的分支，它们具有深刻的物理背景和数学模型。近年来，这些理论在应用数学领域中已取得了迅速的发展和广泛的重视。有大批学者从事这两方面的理论研究，取得了一系列较好的结果。研究微分方程振动性理论，有很好的发展前景，并有较高的实用价值。偏微分方程和差分方程解的振动性也是微分方程解的重要性态之一。随着自然科学和生产技术的不断发展，在许多应用问题中均出现了是否微分方程有振动解存在或者是否微分方程的一切解均为振动解的问题。特别是近几十年，偏微分方程和差分方程解的振动性研究发展得相当迅速，其中以二阶偏微分方程与二阶差分方程最受人们的关注，因此也被研究得比较深入和广泛，无论是从方程的类型上还是从研究的方法上均有长足的发展。（部分结果可参见文[1]-[38]）。本文利用推广的Riccati-变换及积分平均技巧，函数的单调性对一类二阶时滞偏微分方程和一类二阶非线性差分方程解的振动性进行了进一步研究，得到一些新的成果。根据内容本文分为以下两章：第一章在这一章中，我们分四节研究了如下形式的一类二阶时滞偏微分方程解的振动性和区间振动性（?）/（（?）t）[p（t）（?）/（（?）t）u（x，t）]=α（t）△u（x，t）+sum from k=1 to sαk（t）△u（x，t-（?）k（t））-q（x，t）u（x，t）-sum from j=1 to m qj（x，t）u（x，t-σj），（x，t）∈Ω×[0，∞)≡G。（1．1．1）其中Ω是有光滑边界（?）Ω的RN中的有界区域，并且△u（x，t）=sum from r=1 to N （（?）2u（x，t））/（（?）xr2，该方程的边界条件：（（?）u（x，t））/（（?）v）+g（x，t）u（x，t）=0，（x，t）∈（?）Ω×[0，∞），（1．1．2）其中v是（?）Ω的单位正交外向量，g（x，t）是（?）Ω×[0，∞)上的非负连续函数。在本章第一二节中。我们研究得到了该方程的一些新的振动性质。进一步，在第三，四节中，我们又分别利用函数Φ=Φ（t，s，l）和函数H=H（t，s）研究了问题（1．1．1），（1．1．2）的振动性和区间振动性。第二章在本章中我们讨论了如下形式的一类二阶非线性差分方程解的振动性△[αng（△yn）]+qn+1f(yn+1)=rn，n≥0．（2．1．1）其中，算子△定义为△yn=yn+1-yn。