基于偶应力理论的局部彼得洛夫—伽辽金无网格（MLPG）法

论文摘要

应变梯度理论是为解释材料在微米尺度下的尺寸效应现象而发展起来的一种理论。偶应力理论是应变梯度理论的一种。局部彼得洛夫-伽辽金无网格法在求解过程中不需要背景网格,是一种“真正”的无网格法。本文基于对偶应力理论和局部彼得洛夫-伽辽金无网格（MLPG）法的深入分析研究,将偶应力理论与MLPG有机的结合,发展了一种新型的无网格法,并在此基础上编写了MATLAB程序,通过实例验证了此方法的可行性及有效性。本文主要研究内容和结论有:对一般偶应力理论的力学行为进行了系统的描述。引入了独立的微观转动矢量,与位移矢量互相独立,这是一般偶应力理论与传统偶应力理论最重要的区别。研究并推导了一般偶应力理论的平衡方程、应变位移关系和本构关系等。系统地研究分析了MLPG法,将控制方程的子域积分“弱”形式引入到该方法中,使得对试探函数的连续性要求降低了,对实际问题能给出更好的近似解。这一方法中试探函数与测试函数可以取自不同的函数空间,子域构造形式多样,具有灵活多样的实施方案。MLPG法不需要额外的背景网格,刚度矩阵的形成不需要装配过程。将偶应力理论的本构关系代入到MLPG法的离散方程中,发展了一种基于偶应力理论的新型的MLPG法。利用本文推导出的方法对带中心小孔的无限平板在单轴拉伸及纯剪状态下的应力集中情况进行数值计算与分析。计算结果表明,偶应力的存在对圆孔周围应力集中起了缓解作用,当小孔半径与材料内禀长度相当时,应力集中因子小于经典弹性理论中的3,应力集中因子随α/ι的增大而增大,最终趋近于经典弹性理论解;并且应力集中因子还与泊松比有关,随泊松比的减小而减小。此外,本文还用该方法分析边界层问题。探讨了偶应力对层合板变形的影响,在边界层区域内,存在一定的转动梯度效应,考虑偶应力时,剪应变的分布是连续的;分析了不同布点方式对计算结果的影响,选择合适的布点方式是提高MLPG法计算精度的有效途径。本文推导出的基于偶应力理论的MLPG法为求解实际工程中具有尺寸效应的复杂结构的数值计算提供了一种强有力的方法。最后,对基于一般偶应力理论的无网格法的应用及发展做了展望。

论文目录

• 目录
• CONTENTS
• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
• 1.1 材料的应变梯度效应
• 1.2 应变梯度理论背景、发展现状及应用
• 1.3 基于应变梯度理论的无网格法
• 1.3.1 无网格法的背景及现状
• 1.3.2 考虑偶应力的MLPG法的研究目的及意义
• 1.4 主要研究内容
• 第2章 偶应力理论
• 2.1 一般偶应力理论
• 2.2 转动梯度形变理论
• 2.2.1 平衡方程和应变位移关系
• 2.2.2 本构关系
• 2.3 关于内禀长度l
• 第3章 考虑偶应力的MLPG法
• 3.1 移动最小二乘法（MLS）
• 3.1.1 移动最小二乘法基本概念
• 3.1.2 形函数及其导数
• 3.1.3 A（x）计算精度影响分析
• 3.1.3.1.节点分布性态对于形矩阵A（x）的影响
• 3.1.3.2.基函数的选取对于形矩阵A（x）的影响
• 3.1.4 移动最小二乘近似和有限元近似的区别
• 3.1.5 权函数的选取
• 3.2 基于一般偶应力理论的MLPG法离散方程
• 3.2.1 罚函数法
• 3.2.2 无网格法局部积分"弱"形式
• 3.2.3 MLPG方法的离散形式及实施步骤
• 3.3 结点子域的构造
• 3.4 MLPG的数值实现过程
• 3.5 小结
• 第4章 实例计算
• 4.1 考虑偶应力的应力集中问题
• 4.1.1 带中心小孔无限大平板单轴拉伸应力集中问题
• 4.1.1.1 计算模型和布点情况
• 4.1.1.2 计算结果及结果分析
• 4.1.2 带中心小孔无限大平板双轴拉伸应力集中问题
• 4.2 边界层应变分析
• 4.2.1 不连续导数的处理
• 4.2.2 边界层剪应变分布的分析
• 4.4 小结
• 第5章 总结与展望
• 5.1 总结
• 5.2 展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间发表的论文及获奖情况
• 学位论文评阅及答辩情况表