应变梯度偶应力理论的无网格元法研究

论文摘要

近年来大量的微细观实验研究表明,当材料的变形特征尺寸在微米或亚微米量级时,其力学行为与材料的内秉特征长度相关,体现出强烈的尺度效应。经典连续介质力学的本构关系不包含任何材料内秉特征长度,不能预测材料的尺寸效应。为了解释尺度效应现象,Fleck和Hutchinson等学者发展了应变梯度偶应力理论,该理论成功地解释了微扭转和微弯曲过程中的尺度效应现象。由于该理论引入了位移的二阶导数和相应的高阶边界条件。在其数值实施过程中,需要实现位移函数的C 1连续。这对传统的有限元方法来说是一个极大的挑战,因为有限元方法的形状函数是分片连续,很难实现在全域内的C 1连续。新兴的无网格法能够实现位移函数的高阶导数连续,根据最小势能原理,通过罚函数法引入位移边界条件,导出了偶应力理论的伽辽金无网格方法(element free Glerkin method,EFG)求解列式,并采用移动最小二乘法构造了形状函数,该形函数具有C 2连续性,满足了位移函数最低C 1连续的要求,数值结果显示,该方法数值结果稳定,精度高。由于无网格法的形状函数一般不具有插值特性,位移边界条件不能直接施加。为了克服这一缺点,本文采用径向点插值法(radial point interpolation method,RPIM),构造了具有插值特性的形状函数,从而能够直接施加位移边界条件,数值结果表明,该方法数值结果与解析解吻合得很好。文中研究了基函数项数、影响域半径、背景网格密度、节点密度等对EFG法和RPIM法数值精度的影响。结果表明,采用二次基函数时的数值精度明显高于线性基函数;数值结果都受影响域半径影响,最佳影响域半径为节点平均间距的2.1～3.0倍。对于EFG法,随着背景网格密度和节点密度的增加,数值结果精度增加,但达到一定的密度后,再增加密度会提高计算量,对提高精度没有好处。此外,对超薄梁微弯曲过程中的尺度效应的研究表明,当梁高H接近于材料内禀特征长度l时,材料的尺度效应非常明显,梁高远大于材料内禀特征长度(如H>10l时),材料尺度效应很弱,应变梯度理论蜕化为经典弹性理论。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 材料尺度效应简介
• 1.2 应变梯度理论发展及应用
• 1.3 应变梯度理论数值实施方法研究
• 1.4 无网格方法的发展及应用
• 1.5 本文的主要工作
• 第2章 应变梯度偶应力理论及无网格方法
• 2.1 偶应力理论简介
• 2.2 平面偶应力理论的控制方程
• 2.2.1 平衡方程
• 2.2.2 位移应变关系
• 2.2.3 本构关系（应力应变关系）
• 2.2.4 边界条件
• 2.3 无网格方法计算的基本原理
• 2.3.1 无网格方法计算的思想
• 2.3.2 微分方程的等效积分形式
• 2.3.3 无网格计算的近似方案
• 2.3.4 微分方程的离散
• 2.3.5 无网格方法的数值积分
• 2.4 本章小结
• 第3章 应变梯度偶应力理论的EFG 无网格方法
• 3.1 问题的描述
• 3.2 偶应力理论下的势能泛函的推导
• 3.3 本质边界条件处理
• 3.4 移动最小二乘法的形函数构造
• 3.4.1 移动最小二乘法（Moving Least Square Method,MLS）近似
• 3.4.2 权函数的选取及影响域的确定
• 3.5 无网格方法的求解
• 3.6 无网格方法的数值实施过程
• 3.7 数值算例
• 3.7.1 基函数项数对数值结果的影响以及对超薄梁弯曲过程中尺度效应的研究
• 3.7.2 节点数对计算结果的影响研究
• 3.7.3 背景网格数对计算结果的影响研究
• 3.7.4 影响域半径对计算结果的影响研究
• 3.8 本章小结
• 第4章 偶应力理论的RPIM 无网格方法
• 4.1 径向点插值法的基本原理
• 4.2 RPIM 方法的求解
• 4.3 数值算例
• 4.3.1 基函数项数对数值结果的影响研究
• 4.3.2 背景网格数对计算结果的影响研究
• 4.3.3 影响域半径对计算结果的影响研究
• 4.3.4 EFG 方法和RPIM 方法的比较
• 4.4 本章小结
• 第5章 结论与展望
• 5.1 结论
• 5.2 展望
• 参考文献
• 附录Ⅰ 研究生在读期间公开发表的学术论文及科研成果
• 致谢