非协调有限元的构造及其应用

论文摘要

本文构造了几个新的非协调有限元,系统地研究了它们的收敛性质并讨论了它们的一些应用.这些非协调元包括:Quasi-Carey元,Quasi-Wilson元,高次Wilson元以及二阶非协调混合元.与协调元相比,非协调元具有许多优势.一般来说,对某些问题,它们构造简单,同时还具有很好的收敛效果,例如Morley元和Wilson元.另外,相对于协调混合元,非协调混合元更容易构造地使其满足离散inf-sup条件,因此非协调元的研究得到科学工作者和工程师的广泛关注.根据第二Strang引理,非协调元的误差包括两部分,一部分为插值误差,另一部分为相容误差,许多情况下相容误差的阶低于或等于插值误差的阶.对于二阶椭圆问题,本文构造的Quasi-Carey元相容误差为O（h2）,比插值误差高一阶;在矩形网格上,本文证明了传统的Quasi-Wilson元的相容误差为O（h3）,比插值误差高两阶,同时还给出了一个新的Quasi-Wilson元,它的相容误差在任意四边形网格上为O（h3）;经过仔细分析,我们首次证明了在各向异性网格上,高次Wilson元插值误差为O（h3）,比相容误差O（h2）高一阶.作为应用,在第二章,我们得到了各向异性网格上Quasi-Carey元关于Sobolev方程O（h2）阶的整体超收敛和后验误差估计,根据误差渐近展开得到了O（h4）阶的整体外推结果.第三章,我们根据Quasi-Wilson元的特殊收敛性,把它应用到对流扩散方程,得到了与双线性元和P1mod元相同的O(h3/2)阶的最优收敛阶.第四章首先分析了高次Wilson元在各向异性网格上的收敛性质,并给出数值试验说明了理论分析的有效性.接着导出了高次Wilson元的整体超收敛性质,并在此基础上给出了解的后验误差估计.第五章把Quasi-Carey元和修正的高次Wilson元应用到Maxwell方程的有限元格式,得到了Crouzeix-Raviart型三角形非协调元,Carey元以及高次Wilson元达不到的最优收敛结果.第六章我们用两个新的具有O（h2）阶的非协调元格式离散不可压Navier-Stokes方程,得到了速度的H1-模和压力的L2-模的O（h2）阶的误差估计以及速度的L2-模的O（h3）阶的误差估计,同时还给出了数值算例来验证误差分析的有效性.

论文目录

• 内容摘要
• Abstract
• 前言
• 第1章 预备知识
• 1.1 Sobolev空间及一些记号
• 1.2 有限元方法的基本理论
• 1.3 各向异性有限元
• 1.4 混合元理论
• 第2章 Quasi-Carey元的构造及其收敛性分析
• 2.1 引言
• 2.2 Quasi-Carey元的构造
• 2.3 主要结果
• 2.4 Sobolev型方程Quasi-Carey元解的高精度分析
• 2.4.1 Sobolev型方程的Quasi-Carey元整体超收敛分析
• 2.4.2 外推
• 第3章 两个Quasi-Wilson元的收敛性分析及其应用
• 3.1 引言
• 3.2 两个Quasi-Wilson元的特殊收敛性分析
• 3.2.1 Quasi-Wilson元的特殊收敛性
• 3.2.2 任意四边形网格上一个新的Quasi-Wilson元及其特殊收敛性质
• 3.3 对流扩散问题的Quasi-Wilson元逼近
• 3.3.1 弱形式和离散问题
• 3.3.2 误差分析
• 第4章 高次Wilson元的构造及其收敛性分析
• 4.1 引言
• 4.2 各向异性网格上高次Wilson元的收敛性分析
• 4.2.1 两个高次Wilson有限元的构造
• 4.2.2 各向异性网格上HW1元的收敛性分析
• 4.2.3 数值试验
• 4.3 高次Wilson元的整体超收敛分析
• 4.3.1 不完全双二次元的积分展开式
• 4.3.2 高次Wilson有限元的整体超收敛分析
• 第5章 Maxwell方程的Quasi-Carey元和修正的高次Wilson元逼近
• 5.1 引言
• 5.2 单元构造及相应的有限元空间
• 5.2.1 Quasi-Carey元有限元空间
• 5.2.2 修正的高次Wilson元
• 5.3 Maxwell方程和一些引理
• 5.4 收敛性分析
• 第6章 Navier-Stokes方程的两个新的二阶非协调混合元格式
• 6.1 引言
• 6.2 变分形式
• 6.3 非协调三角形有限元格式的构造
• 6.4 逼近解的存在唯一性与误差估计
• 2模误差估计'>6.5 L²模误差估计
• 6.6 非协调矩形有限元格式的构造
• 6.7 数值试验
• 参考文献
• 攻读博士学位期间已发表或已完成的论文
• 致谢