谱方法求解两类延迟微分方程

论文摘要

现实世界中很多问题具有滞后性,因此延迟微分方程广泛的应用于诸如控制论、经济学、流体力学、大气学、生态学等应用科学领域。近几十年里很多数值方法被用来求解延迟微分方程并且已经发展的很成熟,比如Runge-Kutta方法、θ-方法、单支方法、线性多步法等。但这些传统方法也存在着很多不足,比如精度低、收敛慢,对一些特殊的问题求解比较困难等。本文选用谱方法求解延迟微分方程的目的就是要达到谱收敛与谱精度的效果,同时能够处理一些相对于传统方法求解比较困难的问题,可以作为传统方法的一个补充。谱方法的基本思想是用整体充分光滑的试探函数全局逼近问题的真解,因此只要所求解的问题光滑性较好,谱方法则可以用很少的网格节点对真解函数、延迟项函数、延迟微分项函数（包括高阶微分延迟项函数）做到较高程度的逼近。因此只要相应的数值方法设计得当,谱方法可以成为求解光滑延迟微分方程的一种非常有效的数值方法。本文主要是针对两类延迟微分方程模型：线性变系数变延迟微分方程模型（3.1.1）和线性变系数中立型变延迟微分方程模型（4.1.1）,分别设计出了相应的基于谱方法的数值计算方法,并给出了收敛性分析和一些具有代表性的数值算例。这些收敛性结论和数值算例验证了应用谱方法求解延迟微分方程可以达到谱精度和指数收敛的效果,同时对于一些传统方法很难求解的方程问题应用谱方法也可以达到较好的效果。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 1.1 谱方法求解延迟微分方程现状
• 1.1.1 谱方法介绍
• 1.1.2 谱方法求解延迟微分方程的优势与不足
• 1.2 论文的主要内容和特点
• 1.3 论文结构
• 第二章 预备知识
• 2.1 正交多项式
• 2.1.1 Chebyshev多项式
• 2.1.2 Legendre多项式
• 2.1.3 Legendre-Gauss型积分点的数值计算方法
• 2.2 常用空间和范数介绍
• 2.3 常用的引理
• 第三章 求解线性变系数变延迟微分方程
• 3.1 问题描述
• 3.2 数值方法
• 3.3 收敛性分析
• 3.4 数值算例
• 第四章 求解线性变系数中立型变延迟微分方程
• 4.1 问题描述
• 4.2 数值方法
• 4.3 收敛性分析
• 4.4 数值算例
• 总结与展望
• 参考文献
• 致谢