论文摘要
近年来,分数阶微积分在科学工程领域的广泛应用引起了人们很大的兴趣。在电化学过程、色噪声、控制理论、流体力学、混沌、生物工程等领域,分数阶微积分是有用的数学工具。在使用分数阶导数的模型中,大部分情况下会导致出现一系列的分数阶微分方程。尽管有些方程的解析解可以求出来,但人们注意到,很多分数阶微分方程的解析解是由比较特殊的函数来表示,而要数值地表示这些特殊函数是很困难的,并且有些非线性方程是不可能求出其解析解的,于是,人们越来越关注分数阶微分方程的数值方法。本文考虑了一类分数阶微分方程初值问题的数值求解Caputo导数的性质使得该初值问题可以等价地简化为Volterra积分方程,因此,求解Volterra积分方程的数值方法同样能够应用于分数阶微分方程的数值求解。在第三章,将求解普通积分方程的Adams技巧应用于分数阶微分方程模型,得到一个求解分数阶微分方程的显式算法,给出了误差估计,并通过数值实验说明该算法是有效的。在第四章,以[34]中的方法为基础,作了微小的改动,得到一个隐式的算法,并给出了误差分析。在第五章,以第三章和第四章的方法为基础,得到一个新的预校算法,给出了误差估计,并且通过数值实验证明该方法是有效的;实验说明,该算法在1＜α＜2时比[31]所提的预校算法具有更高的数值精度。在第三章和第五章中均对分数阶松驰—震荡方程作了计算,不但说明了文中算法的有效性,还通过图形显示出解从松驰性态逐渐过渡到震荡性态的情况。