关于Brück猜想和函数域上的费尔马丢番图方程的研究

论文摘要

上世纪20年代，由R．Nevanlinna建立的亚纯函数值分布论（10年后几何形式由L．Ahlfors建立）被认为是关于亚纯函数性质的最重要的成就之一．亚纯函数值分布论在数学的其他领域有着广泛的应用．例如：位势论，多复变，复微分、差分和函数方程，极小曲面等．亚纯函数唯一性理论伴随着Nevanlinna理论的发展而出现．它主要是研究确定少数函数甚至是一个函数所需要的条件．R．Nevanlinna[39]首先给出了著名的Nevanlinna五值（四值）定理，即两个亚纯函数如果分担扩充复平面上的五个（四个）判别的值，则他们相同（互为线性变换）．这两个定理是唯一性理论的起点，随后又出现了大量的相关结论，如见[44]．除了考虑两个函数之外，也研究亚纯函数与其导数或微分多项式的唯一性，见[44]，第八章，和亚纯函数与其差分的唯一性，见[22]．众所周知，当n=2，3，4时，费尔马函数方程f（z）n+g（z）n+h（z）n=1存在非常数的亚纯函数解．当n≥9，W．K．Hayman[21]证明费尔马函数方程不存在非常数的亚纯函数解．最近，G．G．Cundersen[14，15]考虑n=5和n=6的情况，用例子验证了费尔马函数方程解的存在性．但是，n=7和n=8的情况还没有解决．论文的结构如下安排．第一章，我们介绍Nevanlinna理论和一些经常用的符号．第二章，我们研究亚纯函数与其导函数或微分多项式分担一个小函数的唯一性，改进了Yu[50]中的一些结果并且回答了Yu提出的部分问题．定理0．1．设k≥1，f为非常数亚纯函数，a为f的一个小函数满足a（z）≠0，∞．令L（f）=f（k）+ak-1f（k-1）+…+a0f，（0．0．1）其中ak-1，…，a0为多项式．如果f-a与L（f）-a分担0 CM且2δ（0，f）+3（?）（∞，f）>4，则．f=L（f）．定理0．2．设k≥1，f为非常数亚纯函数，a为f的一个小函数满足a（z）≠0，∞．令L（f）如（0．0．1）．如果f-a与L（f）-a分担0 IM且5δ（0，f）+（2k+6）（?）（∞，f）>2k+10，则f=L（f）．我们还考虑了亚纯函数的幂与其导函数分担一个小函数的唯一性，得到了关于Brück猜想的一些结果．定理0．3．设f为非常数亚纯（整）函数，n和k为正整数，a为f的一个小函数满足a（z）≠0，∞．如果fn-a与（fn）（k）-a分担0 CM且n>k+1+（?）（n>k+1），则fn=（fN）（k），且f（z）=ceλ/nz)，（0．0．2）其中c为非零常数，λk=1．在上述定理中，如果a（z）≡1，f为整函数，则定理0．4．设f为非常数整函数，n和k为正整数．如果fn与（fn）（k）分担1 CM且n≥k+1，则fn=（fn）（k），且f满足（0．0．2）．定理0．4表明当F=fn时，其中n≥2为正整数，f为非常数整函数，Brück猜想成立．由Gundersen and Yang[16]给的一个例子表明上述条件中n≥2是必要的．第三章研究两个多项式分担一个小函数．我们改进或者推广了由Hayman，Clunie，Fang-Hua，Yang-Hua，Fang-Qiu，Lin-Yi等给出的一些结果．我们得到：定理0．5．设f为有有限个极点的超越亚纯函数，g超越整函数，n，k为两个正整数满足n≥2k+6．如果（fn（f-1））（k）与（gn（g-1））（k）分担1 CM，则f=g．定理0．6．设f和g为两个非常数整函数，n，k为两个正整数满足n>2k+4．如果（fn）（k）与（gn）（k）分担zCM，则或者（1）k=1，f（z）=C1ecz2，9（z）=c2e-cz2，其中c1，c2与c为三个常数满足4（c1c2）n（nc）2=-1或者（2）f=tg，其中t为常数满足tn=1．第四章研究费尔马函数方程．我们将用Nevanlinna理论证明上述费尔马函数方程当n≥9时没有非常数亚纯解．证明方法与Hayman的很不一样．第五章我们讨论亚纯函数与其平移分担值．J．Heittokangas，R．Korhonen，I．Laineand J．Pdeppo [22]得到如果有穷级的亚纯函数f（z）与f（z+c）分担三个以c为周期的小函数a1，a2，a3CM，则f（z）≡f（z+c）．我们验证3CM可以被改进为2CM+1IM．

论文目录

• 中文部分
• 摘要
• 第一章 预备知识
• §1.1 Nevanlinna理论的基本结果
• §1.2 亚纯函数分担值的经典定理
• 第二章 亚纯函数与其线性微分多项式分担一个小函数
• §2.1 背景知识与主要结果
• §2.2 引理
• §2.3 定理2.4与2.5的证明
• §2.4 定理2.6的证明
• §2.5 关于亚纯函数幂的Brück猜想
• 第三章 两个微分多项式分担一个小函数
• §3.1 背景知识与主要结果
• §3.2 引理
• §3.3 定理的证明
• 第四章 费尔马丢番图方程解的存在性
• §4.1 三项费尔马丢番图方程
• §4.2 一般的费尔马丢番图方程
• 第五章 亚纯函数与其平移分担公共值
• §5.1 预备知识
• §5.2 差分中的Brück猜想
• §5.3 分担三个值
• 参考文献
• 致谢
• 论文目录
• 作者简介
• 学位论文评阅及答辩情况表
• 英文部分
• Abstract
• Chapter 1 Preliminaries
• §1.1 General background of Nevanlinna Theorey
• §1.2 Classical results on shared values of meromorphic functions
• Chapter 2 Meromorphic function sharing one small function with its linear differential polynomial
• §2.1 Introduction and main results
• §2.2 Some lemmas
• §2.3 Proofs of Theorem 2.4 and 2.5
• §2.4 Proof of Theorem 2.6
• §2.5 Bruck's conjecture concerning power of meromorphic functions
• Chapter 3 Two differential polynomials sharing one small function
• §3.1 Introduction and results
• §3.2 Some Lemmas
• §3.3 Proofs of results
• Chapter 4 Non-existence of meromorphic solutions of Fermat type functional equations
• §4.1 Three term of Fermat type functional equations
• §4.2 General case of Fermat type functional equations
• Chapter 5 Shared values of meromorphic functions with their shifts
• §5.1 Preliminaries
• §5.2 An analogue of Bruck's conjecture
• §5.3 Sharing three values
• Bibliography
• Acknowledgement
• List of Publications during Studies for Ph.D.
• Curriculum Vitae
• 学位论文评阅及答辩情况表