布尔函数的正规性研究

论文摘要

为满足Shannon提出的混淆及扩散思想,一个好的密码函数必须同时满足多个密码学指标,正规性就是其中之一。本文围绕正规性这一复杂度指标进行展开,取得了以下主要结果:(1). Plateaued函数能达到多个密码学性质的折中,是一类性质良好的密码函数。本文基于Walsh谱及函数分解理论,讨论了Plateaued函数在高维空间上的分解,结果发现这类函数在分解后仍具有较高的非线性度。将分解理论进行推广便是正规性的概念。基于Walsh谱刻画了Plateaued函数的正规性,得到了判定这类函数正规性的简化算法,并指出了Plateaued函数与其分解函数的正规性之间的关系。(2).介绍了Plateaued函数的对偶函数并对其性质进行分析,发现Plateaued函数与其对偶函数在多个密码学性质上存在对称关系,特别地给出了两者在正规性上的对应关系。(3).分析了已知Plateaued函数类的正规性,并给出了几种构造非正规Plateaued函数的方法。(4).基于稳定性理论,提出了扩展正规性的概念。讨论了扩展正规性与正规性,以及与扩展代数免疫之间的关系。从代数正规型的角度分析了正规性和代数免疫阶,并给出了具体计算方法。(5).分析了正规性同其他密码学指标如非线性度、线性结构、代数免疫阶之间的关系,进而通过计算证明了平衡的、具有较高代数次数的非正规布尔函数的存在性。(6). Bent函数具有良好的非线性性和扩散性,且已知构造法构造的Bent函数几乎都是正规的。基于此结论,希望以正规的Bent函数为基础,构造满足多个密码学准则的布尔函数。研究发现,可通过对正规的Bent函数进行修改、分解和级联得到满足平衡性、高非线性性、SAC等多个密码学指标的布尔函数。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• §1.1 研究背景与研究意义
• §1.2 与正规性相关的密码学性质研究现状
• §1.3 本文的内容安排与主要结果
• 第二章 基础知识
• §2.1 代数结构
• §2.2 线性空间和仿射子空间
• §2.3 布尔函数的表示及与正规性相关的复杂度指标
• 2.3.1 布尔函数的定义及表示方法
• 2.3.2 与正规性相关的复杂度指标
• §2.4 本章小结
• 第三章 Plateaued函数的分解与正规性
• §3.1 Plateaued函数与正规性简介
• §3.2 Plateaued 函数的分解与正规性
• 3.2.1 Plateaued 函数的分解
• 3.2.2 Plateaued 函数的正规性及判定算法
• 3.2.3 Plateaued 函数与其分解函数的正规性之间的关系
• §3.3 Plateaued 函数的对偶及其复杂性
• 3.3.1 Plateaued 函数的对偶
• 3.3.2 Plateaued 函数与其对偶函数的正规性之间的关系
• §3.4 已知Plateaued 函数的正规性及非正规Plateaued 函数的构造方法
• 3.4.1 已知Plateaued 函数类的正规性
• 3.4.2 非正规Plateaued 函数的构造方法
• §3.5 本章小结
• 第四章 正规性及扩展正规性
• §4.1 正规性同其他密码学指标之间的关系
• §4.2 布尔函数的扩展正规性
• 4.2.1 扩展正规性与正规性及代数免疫阶之间的关系
• 4.2.2 从代数正规型分析布尔函数的正规性
• §4.3 高次非正规布尔函数的存在性
• §4.4 本章小结
• 第五章 满足多个密码学准则的布尔函数的构造
• §5.1 修改正规的Bent 函数以得到高非线性的平衡函数
• §5.2 分解正规的Bent 函数以得到高非线性的平衡函数
• §5.3 由正规Bent 函数级联得到满足多个密码学性质的布尔函数
• §5.4 本章小结
• 结束语
• 致谢
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的论文