论文摘要
凹凸性是几何对象的一种基本特性，在光滑情形也是一种可以通过微分来描述的特性，因而凸性的研究既是几何研究的需要，也使得它跟分析产生自然的联系，从而凸性也成为分析研究的重要内容；不仅如此，随着对偏微分方程研究的深入，人们发现有时凸性亦是研究方程本身的需要，例如自由边界问题（见后文）。因此，凸性研究不仅有着长久的历史，也越来越成为人们感兴趣的问题。在研究微分方程的凸性时，通常可分为研究方程解本身的凸性和解的水平集的凸性，解的凸性可导出水平集的凸性，从这一角度来说，水平集的凸性是更精细的问题。本文对偏微分方程中研究凸性的历史做一些总结，利用经典的极值原理，首先给出一类低维p-调和函数的水平集凸性的定量估计。同时，常秩定理是处理关于凸性问题的一个强有力工具，它在偏微分方程解的几何性质及微分几何中的应用有着深刻意义。本文亦对预定平均曲率超曲面的水平集的常秩定理作了尝试。另外，我们对低维极小超曲面的水平集凸性亦作了估计，并发现了与二维极小超曲面水平线有关的一些调和或下调和函数，由此可同时得到其水平集严格凸性的新证明。最后，我们用分部积分法研究完全非线性问题，给出了一类Hessian不等式不存在性结果的新证明。主要结果如下：定理0．0．1．设u为R2中区域Ω上的p-调和函数，即满足方程且|▽u|≠0，u的水平集凸，则当3/2≤p≤3时，u的水平集的高斯曲率不能在Ω内部取到最小值，除非是常数。定理0．0．2．设u为R3中区域Ω上的p-调和函数，即满足方程且|▽u|≠0，u的水平集严格凸，则当p≥2时，u的水平集的高斯曲率不能在Ω内部取到最小值，除非是常数。定理0．0．3．（相关术语见后文）设M2为R3中极小曲面，若M2的相对于ξ方向的高度函数u无临界点，即|▽u|≠0，相应水平线的曲率为K，最速下降线的曲率为G，则（i）|▽u|-1K、|▽u|-1G是M2上的调和函数。（ii）ln 1/|K|、ln 1/|G|均是M2上的下调和函数。对于三维极小超曲面，我们也有如下的水平集凸性的定量估计：定理0．0．4．设M3为R4中极小超曲面，若M3的相对于ξ方向的高度函数无临界点，水平集均为局部严格凸的，则水平集的高斯曲率不能在M3内部取到最小值，除非是常数。推论0．0．5．若M3为R3中凸环上具有齐Dirichlet边界条件（见（1．1．4）的说明）的极小图，则M3的水平集的高斯曲率不能在M3内部取到最小值。设Mn为Rn+1中的光滑超曲面，X：M→Rn+1为浸入，满足方程其中H是Mn的平均曲率，N是Mn在X处的单位法向量，f为光滑函数。任取Rn+1中的单位向量ξ，则相对于ξ方向Mn的高度函数可表达为u（X）=<X，ξ>，其中<·，·>表示Rn+1中欧氏内积，于是，相应于ξ方向、高度为t的Mn的水平集表示为利用上述记号,关于超曲面水平集的常秩定理可叙述为：定理0．0．6．对于上述（0．0．3）预定平均曲率的连通超曲面Mn，若Mn的相对于ξ方向的高度函数u无临界点，即|▽u|≠0，且水平集均为局部凸的，即水平集的第二基本形式半正定，则当f>0且f-1/2是凹函数时，水平集的第二基本形式取常秩。除了研究偏微分方程解的凸性以外，我们还用分部积分的方法，重新证明了一个著名定理。具体叙述如下：对Hessian不等式：其中σr（A）表示n×n阶对称矩阵A的特征根的第r阶基本对称函数，考虑其容许解u∈Гk：={u∈C2（Rn）|σr（-D2u）>0，r=1，…，k}，我们有如下的不存在性结果：定理0．0．7．若2k<n，令k*：=nk/n-2k，则（?）α∈(-∞，k*]，（0．0．5）在Гk中无正解。