非线性高阶微分方程边值问题解的存在性与多解性

论文摘要

非线性高阶微分方程边值问题在物理学领域中有着极为丰富的源泉和广泛的应用,研究它的解的存在性与多解性无论在理论上还是在实践中都有着非常重要的意义。本文分三章对一类非线性四阶、六阶微分方程边值问题进行了讨论。在第一章中,我们主要利用强单调映象原理和临界点理论对一类非线性四阶两点边值问题进行了讨论。我们对非线性项f进行一些适当的限制,得到了边值问题解的存在性,唯一性以及多解性。这部分内容已经被SCI收录的核心杂志《Nolinear Anal.》接收。在第二章中,我们利用不动点指数理论对一类四阶两点边值问题进行讨论,所讨论的模型与第一章的基本类似。我们主要讨论它的变号解的存在性。变号解的研究是目前大家非常关注的一个热点问题。在第三章中,我们利用Leggett-Williams三解定理讨论了一类六阶两点边值问题三个正凹解的存在性。这部分内容已发表在《山西大学学报》上。 下面,我们对本文的主要结果加以具体阐述。 在第一章中,我们主要利用强单调映象原理和临界点理论讨论以下四阶两点边值问题（BVP）:其中f:[0,1]×R1→R1连续。 首先,我们利用强单调映象原理讨论BVP（1.1.1）解的存在唯一性。主要结论如下: 定理1.3.1 假设对每一个t∈[0,1],f（t, u）是u的减函数,即当u1,u2∈R1且u1<u2时,f（t, u1）≥f（t, u2）,则BVP（1.1.1）在C4[0,1]中存在唯一解。 定理1.3.2 若存在α∈[0,π4),使得[f（t, u）-f（t, υ）][u-υ]≤α|u-υ|2,t∈[0,1],u,υ∈R1。则BVP（1.1.1）在C4[0,1]中存在唯一解。 然后,利用临界点理论讨论了BVP（1.1.1）解的存在性与多解性。主要结果如下: 定理1.4.1假设 integral from 0 to u f（t, υ）dυ≤α/2 u2+b（t）|u|2-γ+c（t）,t∈[0,1],u∈R1,其中α∈[0,π4),γ∈（0,2）,b∈L2/γ[0,1],c∈L[0,1],则BVP（1.1.1）在C4[0,1]中至少存在一个解。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 一类四阶边值问题解的存在性与多解性
• §1.1 引言
• §1.2 预备知识
• §1.3 唯一解的存在性
• §1.4 至少一个解的存在性
• §1.5 非零解的存在性
• §1.6 无穷多个解的存在性
• 第二章 一类四阶边值问题的变号解
• §2.1 引言及主要结果
• §2.2 预备知识
• §2.3 定理2.1.1的证明
• 第三章 一类边值问题的三重正凹解
• §3.1 引言
• §3.2 主要结果及其证明
• 参考文献
• 致谢
• 附录
• 承诺书