倒向随机微分方程和非线性期望在金融中的应用：风险度量，定价机制的估计以及期权定价

论文摘要

倒向随机微分方程（BSDE）的线性形式首先由Bismut（1973）在引入，1990年Pardoux & Peng（1990）研究了Lipschitz条件下非线性倒向随机微分方程解的存在唯一性定理。Duffle & Epstein（1992b）在研究随机微分效用过程中也独立地引进了一类倒向随机微分方程。倒向随机微分方程在随机控制、偏微分方程、数理金融、经济等领域都有着广泛的应用。 经典的期望是一个线性泛函，在线性期望和可加测度之间存在一一对应的关系。但是这种一一对应的关系在非线性情形下并不成立，一般地，给定一个非线性期望，我们仍然可以导出一个非可加概率测度，但是却存在无穷多的非线性期望满足这一关系。因此在非线性情况下，期望比非可加测度更具特征性。?用非可加测度定义了容度和Choquet期望，Choquet期望在统计、经济、金融和物理中有很多应用，但是它的缺点是很难定义条件Choquet期望。Peng（1997）通过一类特殊的倒向随机微分方程引入了一种非线性期望：g-期望。用g-期望可以很容易定义条件期望。不过g-期望是一种拟线性期望，也就是说，并不能包含完全非线性的情形。Peng（2005b）引入了一般的时间相容完全非线性期望和非线性马氏链，Peng（2006a，b）则提出G-期望的概念和理论。 Artzner，Delbaen，Eber & Heath（1997，1999）引入相容风险度量，作为一个公理化的工具量化金融头寸的风险。同在1997年，Peng（1997）引入了g-期望的概念。Follmer & Schied（2002a，b，c）和Frittelli & Rosazza Gianin（2002，2004）分别独立地研究了一般概率空间上的凸风险度量。动态风险度量也同样被提出，例如Cvitanic & Karatzas（1999）和Wang（1999）。Rosazza Gianin（2003）由g-期望引入一类动态风险度量，Jiang（2005b）做了进一步的研究，提出并证明了g-期望是相容风险度量或者凸风险度量的充分必要条件。Peng（2005b，2006a，b）研究的G-期望，G-布朗运动和相关Ito类型的随机微积分，可以应用于风险度量。 Peng（2004b，d，2005a）提出并研究了时间相容估价和g-估价的理论，证明了满足一定条件的时间相容估价足一个g-估价，也就是说，无论用什么模型或者机制进行估价，只要验证满足定理条件，那么这个估价背后其实都有一个BSDE，其生成函数g就是定价机制，解z是对冲策略。因此一个很有意义的反问题是：如果已知BSDE的

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 倒向随机微分方程和非线性期望
• 1.1 倒向随机微分方程
• 1.2 g-期望和g-估价
• 1.3 G-期望
• 第二章 风险度量
• 2.1 风险值
• 2.2 标准投资组合风险分析（SPAN）
• 2.3 PC-SPAN软件实例介绍
• 2.4 风险度量
• 2.5 g-风险度量
• 2.6 G-风险度量
• 第三章 实证研究
• 3.1 指数期权和国债
• 3.2 数据描述
• 3.3 g-风险度量的实证研究
• 3.4 G-风险度量的实证研究
• 第四章 BSDE的非参估计
• 4.1 SDE非参核回归方法及测试
• 4.2 参数方法和非参方法的说明
• 4.3 BSDE的非参估计方法
• 4.4 市场数据的估计
• 4.5 模拟数据方法及步骤
• 4.6 二叉树模拟方法结果
• 4.7 分布函数模拟方法
• 4.8 随机波动率模型模拟
• 4.9 对蝶式差价期权的模拟估计
• 4.10 对观测频率的敏感性
• 4.11 金融解释
• 4.12 生成函数表示定理
• 4.13 BSDE的无穷小生成元
• 第五章 稳健期权定价模型与BSDE参数估计
• 5.1 Black-Scholcs模型
• 5.2 波动率微笑
• 5.3 稳健期权定价模型
• 5.4 参数估计
• 5.5 线性BSDE的参数估计
• 附录一 HJB方程和BSDE的数值方法
• A.1 线性二次抛物方程差分方法
• A.1.1 有限差分方法隐格式
• A.1.2 有限差分方法显格式
• A.2 完全非线性二次抛物方程差分方法
• A.2.1 有限差分方法显格式
• A.2.2 有限差分方法半隐格式
• A.3 随机二叉树插值方法
• A.3.1 随机二叉树线性插值格式
• A.3.2 在风险度量中的应用
• 附录二 Heston随机波动率模型
• 索引
• 作者简介
• 作者攻读博士学位期间发表及完成的论文
• 致谢
• 学位论文评阅及答辩情况表