论文摘要
自钟万勰院士1994年提出齐次线性自治动力系统的精细算法HPD以来,这一计算力学、工程应用与计算数学的学术交叉点迅速发展,已成为学术热点。虽然精细算法的精度相当高,但在应用精细算法求解非齐次或非线性问题时则会遇到很大的难题,主要是因为非线性项的习惯处理与传递矩阵的求逆使得计算精度的长效性很难得到保证,并且每小步本身的计算时间太长。近年来,随着精细算法研究的深入,非齐次问题已取得了很大的突破与进展,但在非线性问题方面却始终没能找到一条令人满意的途径。本文首先归纳总结出精细算法的4条隐性规则,基于这些规则,重点就一类非线性的二阶偏微分方程（NB-PDE）的精细算法进行了讨论,开展了系列性的研究。本文的创新工作主要有以下五个方面十个要点:（1）归纳总结出精细算法的4条隐性规则。（2）提出原子精细算法的概念,以图能将NB-PDE不断ε- e转化直至原子精细算法。（3）遵循隐性规则2,应用小波方法将NB-PDE持续ε- e转化为只含时间t的非线性ODES,具体细节内容:a.在小波尺度基构造的基础上提出了小波混合基。b.提出了小波联系系数的求解模型。c.证明了小波滤波系数可以由机证（机器证明）获得。d.证明了拟小波函数作为基函数的合理性,建立了自适应ω凸方法（简记:ω-AC）,以使ω的调整有利于真实的解。这一方法是普适的,文中证明了M-S方法是它的一个特例。e.建立了自适应ω凸方法的误差分析理论,算例证实了方法的有效性。（4）遵循隐性规则3,例证了目前流行的区间精细算法的精度缺陷。(所谓区间精细算法,是指传递矩阵H随小区间[ ]tk,tk+1不同而不同。)（5）遵循隐性规则4,a.基于AGE格式,建立了非线性项无误差处理下的长效精细算法（SBHPD）。(所谓