量子力学中的不变本征算符方法及其应用

论文摘要

在量子力学中,求解系统能谱是基础而重要的问题。处理此类问题的时候,人们通常使用的是Schr（?）dinger方程,由于涉及到微分方程,很多时候不容易求解。另一方面,和Schr（?）dinger方程同样重要的Heisenberg方程,却很少被直接用于求解能谱。经过我们研究发现,由Heisenberg的思想出发并结合Schr（?）dinger算子,可以得出一种求解系统能谱的新方法,称为“不变本征算符方法（invarianteigen-operator method,简称IEO方法）”。此方法主要对算符进行操作,无须涉及系统的具体量子态或波函数,从而回避了复杂的微分方程,可以方便的对很多系统进行求解。本文主要内容就是介绍IEO方法的发展及其在分子物理、固体物理、量子光学和量子场论等领域的应用。一、经过追溯Schr（?）dinger量子化方案的起源,我们对比Schr（?）dinger方程和Heisenberg方程,从而引入关于本征算符的方程。由于本征算符和系统能级差之间的对应关系,我们将得到可用于求解系统能谱的IEO方法。其核心思想就是构造系统哈密顿量的不变本征算符,从而得出对应的本征值,即系统能级差,由能级差即可得到整个能谱。二、通过求解几个相对简单的少体系统模型,演示IEO方法的基本流程和独特的便利性之后,我们将运用IEO方法来处理固体物理中比较典型的链状哈密顿量系统。由于在固体物理中,晶格振动的频率就对应于系统的能级差,可以发现IEO方法正适合于晶格振动问题的求解,并且由于晶格的周期性,可以有标准化的构造不变本征算符的思路。三、一些结构比较复杂的哈密顿系统也可以用IEO方法来求解,如半无限原子链和奇异谐振子等模型。由于结构更为复杂,不变本征算符的构造通常需要针对系统的具体结构来进行。四、非对易空间中的量子力学（NCQM）最近引起了超弦理论领域物理学家们的兴趣。由于不同粒子的坐标算符之间相互不对易,用通常方法求解变得困难。我们把IEO方法运用到非对易空间中,对NCQM的几个模型进行求解,发现非对易因素在这里并不造成困扰。可见IEO方法在此领域中具有相当的优越性,有望推广实用。五、当然IEO方法远非完善,还存在相当的局限性。如何针对含时系统应用IEO方法还没有得到解决,而且和传统的Schr（?）dinger方程求解一样,对要处理的哈密顿量的形式也有一定限制,很多问题无法用IEO方法直接解决。基于对标准IEO方法的补充,最后我们介绍一些扩展方法,如赝不变本征算符和算符微扰论等,来扩大IEO方法的适用范围。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 目录
• 第一章 绪论
• 1.1 引言
• 1.2 IEO方法的引入
• 1.3 IEO方法的相关性质
• 参考文献
• 第二章 少体系统
• 2.1 双原子系统
• 2.2 极化子模型
• 2.3 多原子分子系统
• 参考文献
• 第三章 链状哈密顿量系统
• 3.1 一维双原子链系统
• 3.2 Peierls模型
• 3.3 包含次近邻作用的双原子链
• 3.4 量子叶轮系统
• 参考文献
• 第四章 复杂结构系统
• 4.1 铁磁自旋链
• 4.2 复合晶格系统
• 4.3 半无限原子链系统
• 4.4 奇异谐振子模型
• 4.5 双模多光子系统
• 参考文献
• 第五章 非对易量子系统
• 5.1 非对易空间中的纠缠态表象
• 5.2 双模系统
• 5.3 三模谐振子系统
• 参考文献
• 第六章 IEO方法的扩展
• 6.1 赝不变本征算符方法
• 6.2 IEO方法的微扰论
• 参考文献
• 第七章 总结
• 攻读学位期间发表的学术论文
• 致谢