论文摘要
称一个n阶半正定、元素非负的矩阵为双非负矩阵,并记所有n阶双非负矩阵构成的集合为DNNn。对于A∈Rn×n,若有非负矩阵B∈Rn×m满足A=BBT(T表示转置),则称A为完全正的。记所有n阶完全正矩阵构成的集合为CPn,所有使得A=BBT成立的B的最小列数称为A的分解指数(或A的cp-秩)记作φ(A).一个图G称为完全正图,简记为CP图,如果每个以G为伴随图的双非负矩阵均为完全正。G的一个双非负实现定义为伴随图是G的一个双非负矩阵。类似定义G的非负、(半)正定、完全正实现。 早在1963年,M.Hall和M. Newman就证明了:当n≤4时,CPn=DNNn。随后Minc和Maxfield利用解矩阵方程XTX=A的方法再次证明了这一结论,他们还给出阶数大于等于5的双非负矩阵不是完全正矩阵的例了。从而说明了n≥5时CPn为DNNn的真子集。1980年,Gray和Wilson利用几何方法给出了这一结论的另一证明。特殊类完全正矩阵研究始于1987年。1988年,M.kaykobad利用图论方法证明了对角占优情况下的双非负矩阵为完全正的。1991年,T.Ando证明了:若A是一个n阶Hankel矩阵,且A的子矩阵A(1|n)∈DNNn-1,则A为完全正的。1994年,Drew等人证明了:对称非负矩阵A是完全正的,如果它的比较矩阵是一个M-矩阵。 1991年,A.Berman等人给出了完全正图的几个等价刻划。他们首先证明了一个无圈图(从而树图)对应的双非负矩阵为完全正的。进一步他们完成了对完全正图的刻划,证明了一个图G为完全正图当且仅当以下条件之一成立: ①G的每一个块(block,即不含割点的连通分支)是完全正的。 ②G的每一个块或是二部图,或是四阶完全图,或是Tk(有公共底边的k个三角形)。
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