论文摘要
在线性系统理论中,线性矩阵方程可以广泛应用于参数识别,结构设计,振动理论,线性最优控制等领域中.研究线性矩阵方程的求解问题不仅可以推广和发展矩阵理论,同时也能为相关的应用领域提供理论思想和实践基础,因而具有重要的理论价值和实际意义.本文基于共轭梯度法的思想,通过构造新的迭代算法分别从不同角度研究了三类线性矩阵方程的求解问题,利用矩阵范数和迹的性质证明了算法的收敛性,并与已有结果进行了比较.在此基础上结合控制理论给出了一些相应的应用结果,数值例子说明了算法的有效性及优越性.本文主要内容有以下几个方面:第一章介绍了线性矩阵方程及其解的应用背景和研究的现状,给出了本文的主要工作,并引入了一些基本记号和定义.第二章从广义系统的特征结构配置中引出广义Sylvester矩阵方程的求解问题,基于解线性代数方程组的共轭梯度法的思想,采用迭代算法获得了方程的数值解,并给出其在广义系统中的应用.数值例子说明本文所给算法的有效性及系统的稳定性.第三章研究更一般的线性矩阵方程通过对已有迭代格式的变形构造出适用的迭代算法,给出了方程相容时的解.进一步提出了方程不相容时的最小二乘问题并利用方程转化的思想使问题得到解决.最后用数值例子来证明本文的结果在应用方面的扩展及与已有结论比较所得的优越性.第四章研究双变量线性矩阵方程相容时的解,构造迭代算法得到方程的解及最小范数解并研究了矩阵对的逼近问题.给出的一些数值解例子说明了算法的可行性和有效性.