线性扰动系统解的渐近性质及四阶奇异差分算子的谱问题

论文摘要

关于线性扰动系统渐近问题的研究已经有了很长的历史。1948年,N.Levinson研究了线性扰动微分系统 y′（x）=（Λ（x）+R（x））y（x）解的渐近行为,并得到著名的Levinson定理（参见[12,第三章定理8.1]或[15,定理1.3.1]）。这个结果在线性扰动微分系统解的研究中起了重要作用。1955年,P.Hartman和A.Wintner得到了另一个重要结果,被称为Hartman-Wintner定理[19]。随后,W.A.Harris,D.A.Lutz[17,18],M.S.P.Eastham[15]等学者对此问题作了进一步研究,并得到了许多优秀的结果。这些结果大都收录在Eastham的专著[15]和其参考文献中。 二十世纪初,G.D.Birkhoff[5]和C.V.Coffman[13]开始研究线性扰动差分方程解的渐近行为。1987年,Z.Benzaid和D.A.Lutz[4]研究了线性扰动差分系统 y（t+1）=（Λ（t）+R（t））y（t）,并得到几个解的渐近结果,其中一个可以看作是Levinson定理的离散模拟。类似于连续情况,在本文中这个结论对研究线性扰动差分系统解的渐近行为也起了重要作用。而且,同样有两类条件对研究差分系统解的渐近表达式起关键作用:第一个是关于对角矩阵Λ（t）的二分条件,第二是关于扰动项R（t）的增长条件。这两类条件相辅相成,相互制约。因此,我们可以通过加强一个条件,同时减弱另一个条件来得到不同的解的渐近结果。线性系统解的渐近性质有广泛的应用前景,例如可以用来研究动力系统的稳定性以及算子的谱问题等。 自二十一世纪以来,时间尺度（time scales）动力学的研究引起了广泛的兴趣。内容涵盖了相当多的领域,如时间尺度上的微积分概念和理论、动力方程的振动性、特征值问题和边值问题、偏微分方程和泛函微分方程等（参见[1,3,8]等）。时间尺度上的动力学理论有其重要的理论意义和广泛的应用前景。这一理论的研究不仅能揭示微分方程和差分方程的共同点,还能统一微分方程和差分方程理论。自然界中有一些过程有时依赖于

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 符号说明
• 第一章 线性扰动差分系统解的渐近性质
• 1.1 引言
• 1.2 准备
• 1.3 主要结果
• 1.4 例子
• 第二章 时间尺度上动力系统解的渐近性质
• 2.1 引言
• 2.2 时间尺度的基本理论
• 2.3 主要结果
• 第三章 四阶差分算子极限点型和极限圆型的判定
• 3.1 引言
• 3.2 准备
• 3.3 极限点型和极限圆型的判定
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间发表及完成文章