关于几个3x+1推广函数和广义M集的若干分形性质的研究

论文摘要

本论文主要内容为作者在吉林大学计算机科学与技术学院攻读博士学位期间对3x+1推广函数与广义Mandelbrot集的分形性质研究的内容与结论,同时构造了新的算法以降低分形生成的时间。分形理论是Mandelbrot在1982年提出的,随即成为了一个新兴的研究热点。近三十年来,许多学者对分形进行了广泛的研究,并以分形为基础进行了一系列的研究推广。研究目的:本文主要对3x+1推广函数和广义的Mandelbrot集（此后简称M集）进行了分形研究,主要包括对它们的组成、不动点、周期点、边界性等进行研究。这些研究基本说明了广义M集和3x+1推广函数的分形结构。同时构造了新的分形生成算法以加速生成时间。实验方法:本文对3x+1推广函数的研究使用了复解析动力分析的方法,首先构造了一个3x+1近似推广函数并对其进行分形研究,然后在它的基础上对3x+1推广函数进行了分析。通过生成它们的分形图形可以得知,它们有很大的相似性。在对广义M集的研究过程中,本文首先在实轴上考察其基本性质,然后将其推广至复平面。结果与结论:本文求解并证明了一类3x+1推广函数的不动点分布,并证明了其不动点有无穷多的结论,同时本文提出了一个普适性的分形生成算法用于生成分形图形。本文证明了一类广义M集的最小逃逸阈值,提出并证明了判断逃逸点的等价条件和边界点的求解公式。

论文目录

• 提要
• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 叙拉古猜想与3X+1 推广函数
• 1.2 广义MANDELBROT 集
• 1.3 逃逸时间算法与推广
• 1.4 本文完成的工作与几点说明
• 1.4.1 本文工作
• 1.4.2 几点说明
• 第2章 对3X+1推广函数的分形研究
• 2.1 一个3X+1 近似推广函数
• 2.1.1 B（x）在实轴上的不动点
• 2.1.2 B（z）在复平面上的不动点与迭代性质
• 2.1.3 B（z）的分形图形
• 2.1.4 结论
• 2.2 3X+1 推广函数T（X）不动点的存在区域分析与数值算法
• 2.2.1 T（x）在实轴上的不动点存在区间
• 2.2.2 T（z）在复平面上的不动点存在区域
• 2.2.3 T（z）在复平面上不动点的数值算法
• 2.2.4 T（z）的分形图形
• 2.2.5 结论
• 2.3 3X+1 推广函数T（X）在实轴上的周期点
• 2.3.1 T（x）在实轴上特殊区间的周期点
• 2.3.2 T（x）在实轴上的2 周期点数目
• 2.3.3 T（x）在实轴上的i 周期点与敛散性
• 2.3.4 结论
• 2.4 3X+1 推广函数C（X）的不动点与分形图形
• 2.4.1 C（x）在实轴上的不动点
• 2.4.2 C（z）在复平面上实轴外的区域无不动点
• 2.4.3 C（z）的分形图形
• 2.4.4 结论
• 2.5 本章总结
• 第3章 对整指数广义M集的分形研究
• 3.1 对正整数指数广义M 集的分形研究
• 3.1.1 M-集的越界判定
• 3.1.2 M-集的多项式曲线逼近、周期点与边界点
• 3.1.3 向正整数阶广义M-集的推广
• 3.1.4 结论
• 3.2 对负整数指数广义M 集的分形研究
• 3.2.1 负整数阶阶广义M 集的敛散性分析
• 3.2.2 K 阶广义M 集的分形研究
• 3.2.3 结论
• 3.3 本章总结
• 第4章 一个利用非逃逸点优化的分形图形生成算法
• 4.1 优化思想概述
• 4.2 非逃逸点与算法的理论依据
• 4.3 一个利用非逃逸点优化的分形图形生成算法
• 4.3.1 基于非逃逸点的函数分形图形生成算法与正确性分析
• 4.3.2 基于非逃逸点的分形图形生成算法与逃逸时间算法的比较
• 4.4 本算法与逃逸时间算法生成分形图形的实验比较
• 4.5 本章结论
• 第5章 结论
• 5.1 结论
• 5.2 尚未解决的问题和未来的工作
• 参考文献
• 作者简介及在学期间所取得的科研成果
• 致谢