论文摘要
多尺度问题和有界面的问题有很多重要的物理应用,吸引了很多数学家和物理学家。一种有效的计算多尺度问题的方法是设计渐近保持的数值格式。对于含有小参数的偏微分方程,所谓一个算法是渐近保持的指的是,当相应的数值离散在小参数趋于零的时候,仍然是渐近极限的合理数值离散。具有这个性质的算法好处在于对所有参数区间都适用,可以处理不同的尺度的参数同时存在的问题,而且在计算时不需要推导在其他很多多尺度算法中需要用到的界面条件,为很多数值处理界面条件困难的问题提供了解决方式。这篇论文主要研究了多尺度的有界面中子输运方程和复Ginzburg-Landau方程的渐近保持格式,考虑了有界面中子输运方程的扩散极限和复Ginzburg-Landau方程在长时间大空间尺度下的极限。带有界面的输运方程有很多重要的应用,比如说随机介质中的高频波、半导体材料模拟等等。对应于不同的物理问题,中子输运方程有两种界面:粒子密度连续界面和能通量连续界面。对粒子密度连续界面我们推导了相应的扩散极限界面连接条件并找到了两种渐近保持算法:指数拟合法（Exponential Fitting Method）和界面浸入法（Immersed InterfaceMethod）。其中指数拟合法不仅仅是渐近保持的,而且可以证明它在整个计算区间上有对平均自由程一致的二阶收敛性。这是对线性输运方程已知的第一个在扩散域中和输运扩散同时存在时具有高阶一致收敛性的算法,同时也是第一个一致收敛性在边界层也成立的算法。复Ginzburg-Landau在物理中有很长的历史,它作为一般的幅度方程描述了流体中导致混沌开始产生的不稳定现象。对于这个方程,我们给出了算子分裂的谱方法（Time Splitting Spectral Method）对长时间大空间尺度极限的渐近保持性质,并指出方法对于非线性薛定谔方程极限不是渐近保持的。数值试验表明所有的这些渐近保持格式不需要使用比小参数更小的网格就可以捕捉到解正确的物理行为,这个性质对大小两种尺度同时存在的情况也是成立的,从而大大减少了计算量。
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